Porovnání zlomku se zlomku v mocnine

Ahoj,

možná bude mít někdo lepší nápad - postupoval bych takto:

Převedu zlomky na desetinná čísla, vychází 1,6 a 1,5 a 1,2, což jsou navzájem blízké hodnoty.

Osmá odmocnina z čísla 1,6 je jen o málo větší než 1. (Možná si pamatuješ, že \( 13^2=169 \), tedy \( \sqrt{ 1.6} \approx 1.3\), takže osmá odmocnina se bude skoro rovnat 1.)

Záporná mocnina čísla 1,5 je menší než 1. (To je vidět na grafu exponenciální funkce se základem větším než 1.)

Číslo 1,2 umocněno na 0,75 je o málo menší než 1,2 a je tedy (nejspíš) největší. (To je také vidět na grafu exponenciální funkce.)

ANEBO:

Čísla 1,6 a 1,2 jsou z hlediska dosti různých mocnin blízká čísla a můžeme je zhruba nahradit stejným číslem. Pak osmá odmocnina bude jistě menší než mocnina s exponentem 0,75 (což je zhruba rovno 1).

Tak stačí si zapamatovat jednoduchý "trik", který se bohužel nejspíš "nevyučuje" (ačkoliv to nic náročného na zapamatování není) , že odmocnina z (jednička plus "číslo malé") = 1 + (číslo malé / stupeň odmocniny) občas s dosti velkou přesností (využívá se diferenciálu funkce) , záleží na přiblížení a zbytku.

viz níže :

A dá se použít i pro velká čísla (viz příklad také níže :)

Opravuji, u toho 1.2 ^ 0.75 to mělo být 1 + 0.2 * 0.75 = 1.150 ( nikoliv lomeno ) , což je s chybou vůči exaktně 1.147 méně než 0.003.