Rovnice

Přeji pěkný večer.

Před zahájením jakýchkoliv úprav je zcela esenciální zavést podmínky řešitelnosti. Pro rovnici

\(e^{ 2 \cdot \ln(\tan(x))} = e^{ -2 \cdot \ln (\cos(x))} - 1\)

musí platit, že \(\tan(x) > 0\) a současně \(\cos(x) > 0\). Víme, že \(\tan(x) > 0\) právě tehdy, pokud

\(x \in (\pi \cdot n; \pi \cdot n + \frac{ \pi} { 2} )\), kde \(n \in \mathbb{ Z} \).

Současně víme, že \(\cos(x) > 0\) tehdy, pokud

\(x \in (2 \cdot \pi \cdot n - \frac{ \pi} { 2} ; 2 \cdot \pi \cdot n + \frac{ \pi} { 2} ) \), kde \(n \in \mathbb{ Z} \).

Za těchto podmínek můžeme provést následující úpravy.

Uvědomme si, že \(c \cdot \ln(x) = \ln(x^c)\) pro kladná \(x\). Vzhledem k tomu, že \(\tan(x)\) a \(\cos(x)\) jsou pro \(x\), která odpovídají našim podmínkám, kladná, můžeme tuto úpravu provést.

\(e^{ \ln(\tan(x)^2)} = e^{ \ln (\cos(x)^{ -2} )} - 1\)

Dále je dobré si uvědomit, že \(e^{ \ln(x)} = x\) pro kladná \(x\). Vzhledem k našim podmínkám řešitelnosti můžeme provést i tuto úpravu.

\(\tan(x)^2 = \cos(x)^{ -2} - 1\)

Připomeňme, že \(\tan(x) = \frac{ \sin(x)} { \cos(x)} \). Upravujeme:

\(\frac{ \sin(x)^2} { \cos(x)^2} = \frac{ 1} { \cos(x)^{ 2} } - 1\)

\(\frac{ \sin(x)^2} { \cos(x)^2} = \frac{ 1 - \cos(x)^{ 2} } { \cos(x)^{ 2} } \)

Jelikož hodnoty \(x\), pro které platí, že \(\cos(x)^2 = 0\), nejsou zahrnuty do množiny přípustných \(x\), můžeme upravovat:

\(\sin(x)^2 = 1 - \cos(x)^{ 2} \)

Připomeňme, že \(\sin(x)^2 + \cos(x)^{ 2} = 1\) pro libovolné reálné \(x\). Řešením naší rovnice je tedy libovolné \(x\), které vyhovuje podmínkám řešitelnosti uvedeným výše. Jde tedy o následující množinu:

\(M =\ \){ \(x \in \mathbb{ R} \ |\ \exists n \in \mathbb{ Z} : 2 \cdot \pi \cdot n < x < 2 \cdot \pi \cdot n + \frac{ \pi} { 2} \)}

Projděme nyní jednotlivé možnosti.

a) Například víme, že \(1 \in M\), ale \(-1 \not\in M\), tedy neplatí

b) Například víme, že \(1 \in M\), ale \(1 + \pi \not\in M\), tedy neplatí

c) Zjevně platí

d) Například víme, že \(1 \in M\), ale \(2 \not\in M\), tedy neplatí

e) Zjevně platí

Snad je to takto pochopitelné. Pokud budete mít doplňující dotaz, určitě se ozvěte.