Rovnice

Přeji pěkný večer.

Před zahájením jakýchkoliv úprav je zcela esenciální zavést podmínky řešitelnosti. Pro rovnici

$e^{ 2 \cdot \ln(\tan(x))} = e^{ -2 \cdot \ln (\cos(x))} - 1$

musí platit, že $\tan(x) > 0$ a současně $\cos(x) > 0$. Víme, že $\tan(x) > 0$ právě tehdy, pokud

$x \in (\pi \cdot n; \pi \cdot n + \frac{ \pi} { 2} )$, kde $n \in \mathbb{ Z}$.

Současně víme, že $\cos(x) > 0$ tehdy, pokud

$x \in (2 \cdot \pi \cdot n - \frac{ \pi} { 2} ; 2 \cdot \pi \cdot n + \frac{ \pi} { 2} )$, kde $n \in \mathbb{ Z}$.

Za těchto podmínek můžeme provést následující úpravy.

Uvědomme si, že $c \cdot \ln(x) = \ln(x^c)$ pro kladná $x$. Vzhledem k tomu, že $\tan(x)$ a $\cos(x)$ jsou pro $x$, která odpovídají našim podmínkám, kladná, můžeme tuto úpravu provést.

$e^{ \ln(\tan(x)^2)} = e^{ \ln (\cos(x)^{ -2} )} - 1$

Dále je dobré si uvědomit, že $e^{ \ln(x)} = x$ pro kladná $x$. Vzhledem k našim podmínkám řešitelnosti můžeme provést i tuto úpravu.

$\tan(x)^2 = \cos(x)^{ -2} - 1$

Připomeňme, že $\tan(x) = \frac{ \sin(x)} { \cos(x)}$. Upravujeme:

$\frac{ \sin(x)^2} { \cos(x)^2} = \frac{ 1} { \cos(x)^{ 2} } - 1$

$\frac{ \sin(x)^2} { \cos(x)^2} = \frac{ 1 - \cos(x)^{ 2} } { \cos(x)^{ 2} }$

Jelikož hodnoty $x$, pro které platí, že $\cos(x)^2 = 0$, nejsou zahrnuty do množiny přípustných $x$, můžeme upravovat:

$\sin(x)^2 = 1 - \cos(x)^{ 2}$

Připomeňme, že $\sin(x)^2 + \cos(x)^{ 2} = 1$ pro libovolné reálné $x$. Řešením naší rovnice je tedy libovolné $x$, které vyhovuje podmínkám řešitelnosti uvedeným výše. Jde tedy o následující množinu:

$M =\ ${ $x \in \mathbb{ R} \ |\ \exists n \in \mathbb{ Z} : 2 \cdot \pi \cdot n < x < 2 \cdot \pi \cdot n + \frac{ \pi} { 2}$}

Projděme nyní jednotlivé možnosti.

a) Například víme, že $1 \in M$, ale $-1 \not\in M$, tedy neplatí

b) Například víme, že $1 \in M$, ale $1 + \pi \not\in M$, tedy neplatí

c) Zjevně platí

d) Například víme, že $1 \in M$, ale $2 \not\in M$, tedy neplatí

e) Zjevně platí

Snad je to takto pochopitelné. Pokud budete mít doplňující dotaz, určitě se ozvěte.