Rovnice

Omlouvám se ,poslední větu není třeba vysvětlovat.

po spojka a.

Přeji pěkné odpoledne,

jako vždy začněme stanovením podmínek řešitelnosti. Definičním oborem funkcí \(\sin\) a \(\cos\) je množina všech reálných čísel. Definičním oborem funkce druhé odmocniny z argumentu jsou pouze reálná nezáporná čísla, nicméně my vždy provádíme odmocninu z \(x^2\), což je funkce s oborem hodnot množiny nezáporných reálných čísel. Z tohoto důvodu zavádíme pouze podmínku \(x \in \mathbb{ R} \).

Víme, že \(\sqrt{ x^2} = |x|\), tedy absolutní hodnota z \(x\). Z tohoto důvodu rozdělme celý výpočet do dvou větví, tj. v první větvi budeme uvažovat pouze o \(x \in \mathbb{ R} ^+_0\), ve druhé větvi pouze o \(x \in \mathbb{ R} ^-\).

1. \(x \in \mathbb{ R} ^+_0\)

Za této podmínky platí, že \(|x| = x\), tedy můžeme psát

\(2 \cdot \sin{ x} - (\cos{ x} )^2 + 2 = 0\)

\(2 \cdot \sin{ x} - (\cos{ x} )^2 = -2\)

\((\cos{ x} )^2 - 2 \cdot \sin{ x} = 2\)

\((\cos{ x} )^2 - 2 \cdot \sin{ x} = 1 + 1\)

\((\cos{ x} )^2 - 2 \cdot \sin{ x} = 1 + (\sin{ x} )^2 + (\cos{ x} )^2\)

\(-2 \cdot \sin{ x} = 1 + (\sin{ x} )^2\)

\((\sin{ x} )^2 + 2 \cdot \sin{ x} + 1 = 0\)

Věřím, že všechny tyto ekvivalentní úpravy byly zřejmé a nepotřebují další vysvětlení. Nyní můžeme zavést substituci \(a = \sin{ x} \). Aplikujme ji na naši rovnici.

\(a^2 + 2 \cdot a + 1 = 0\)

\((a+1)^2 = 0\)

Zrušme substituci:

\((\sin{ x} +1)^2 = 0\)

Možnými řešeními jsou tedy řešení rovnice

\(\sin{ x} = -1\), což je množina

{ \(\frac{ 3 \cdot \pi} { 2} \ + k \cdot \pi \cdot 2\ |\ k \in \mathbb{ Z} \)} . Vzhledem k našim podmínkám řešitelnosti ji však musíme nutně omezit na

{ \(\frac{ 3 \cdot \pi} { 2} \ + k \cdot \pi \cdot 2\ |\ k \in \mathbb{ N} _0\)} .

Nyní řešme druhou větev výpočtu

2. \(x \in \mathbb{ R} ^-\)

Za této podmínky platí, že \(|x| = -x\), tedy můžeme psát

\(2 \cdot \sin{ (-x)} - (\cos{ x} )^2 + 2 = 0\)

\(- 2 \cdot \sin{ x} - (\cos{ x} )^2 + 2 = 0\)

\(- 2 \cdot \sin{ x} - (\cos{ x} )^2 = -2\)

\((\cos{ x} )^2 + 2 \cdot \sin{ x} = 2\)

\((\cos{ x} )^2 + 2 \cdot \sin{ x} = 1 + 1\)

\((\cos{ x} )^2 + 2 \cdot \sin{ x} = 1 + (\sin{ x} )^2 + (\cos{ x} )^2\)

\(2 \cdot \sin{ x} = 1 + (\sin{ x} )^2\)

\((\sin{ x} )^2 - 2 \cdot \sin{ x} + 1 = 0\)

Nyní můžeme zavést substituci \(a = \sin{ x} \). Aplikujme ji na naši rovnici.

\(a^2 - 2 \cdot a + 1 = 0\)

\((a - 1)^2 = 0\)

Zrušme substituci:

\((\sin{ x} - 1)^2 = 0\)

Možnými řešeními jsou tedy řešení rovnice

\(\sin{ x} = 1\), což je množina

{ \(\frac{ \pi} { 2} \ + k \cdot \pi \cdot 2\ |\ k \in \mathbb{ Z} \)} . Vzhledem k našim podmínkám řešitelnosti ji však musíme nutně omezit na

{ \(\frac{ \pi} { 2} \ + k \cdot \pi \cdot 2\ |\ k \in \mathbb{ Z} ^-\)} .

Celkovým řešením zadané rovnice je tedy množina

\(M =\ \){ \(\frac{ 3 \cdot \pi} { 2} \ + k \cdot \pi \cdot 2\ |\ k \in \mathbb{ N} _0\)} \(\cup\) { \(\frac{ \pi} { 2} \ + k \cdot \pi \cdot 2\ |\ k \in \mathbb{ Z} ^-\)} .

Předpokládám, že řešení jednotlivých podúloh je nyní zřejmé.