Rovnice

Omlouvám se ,poslední větu není třeba vysvětlovat.

po spojka a.

Přeji pěkné odpoledne,

jako vždy začněme stanovením podmínek řešitelnosti. Definičním oborem funkcí $\sin$ a $\cos$ je množina všech reálných čísel. Definičním oborem funkce druhé odmocniny z argumentu jsou pouze reálná nezáporná čísla, nicméně my vždy provádíme odmocninu z $x^2$, což je funkce s oborem hodnot množiny nezáporných reálných čísel. Z tohoto důvodu zavádíme pouze podmínku $x \in \mathbb{ R}$.

Víme, že $\sqrt{ x^2} = |x|$, tedy absolutní hodnota z $x$. Z tohoto důvodu rozdělme celý výpočet do dvou větví, tj. v první větvi budeme uvažovat pouze o $x \in \mathbb{ R} ^+_0$, ve druhé větvi pouze o $x \in \mathbb{ R} ^-$.

1. $x \in \mathbb{ R} ^+_0$

Za této podmínky platí, že $|x| = x$, tedy můžeme psát

$2 \cdot \sin{ x} - (\cos{ x} )^2 + 2 = 0$

$2 \cdot \sin{ x} - (\cos{ x} )^2 = -2$

$(\cos{ x} )^2 - 2 \cdot \sin{ x} = 2$

$(\cos{ x} )^2 - 2 \cdot \sin{ x} = 1 + 1$

$(\cos{ x} )^2 - 2 \cdot \sin{ x} = 1 + (\sin{ x} )^2 + (\cos{ x} )^2$

$-2 \cdot \sin{ x} = 1 + (\sin{ x} )^2$

$(\sin{ x} )^2 + 2 \cdot \sin{ x} + 1 = 0$

Věřím, že všechny tyto ekvivalentní úpravy byly zřejmé a nepotřebují další vysvětlení. Nyní můžeme zavést substituci $a = \sin{ x}$. Aplikujme ji na naši rovnici.

$a^2 + 2 \cdot a + 1 = 0$

$(a+1)^2 = 0$

Zrušme substituci:

$(\sin{ x} +1)^2 = 0$

Možnými řešeními jsou tedy řešení rovnice

$\sin{ x} = -1$, což je množina

{ $\frac{ 3 \cdot \pi} { 2} \ + k \cdot \pi \cdot 2\ |\ k \in \mathbb{ Z}$} . Vzhledem k našim podmínkám řešitelnosti ji však musíme nutně omezit na

{ $\frac{ 3 \cdot \pi} { 2} \ + k \cdot \pi \cdot 2\ |\ k \in \mathbb{ N} _0$} .

Nyní řešme druhou větev výpočtu

2. $x \in \mathbb{ R} ^-$

Za této podmínky platí, že $|x| = -x$, tedy můžeme psát

$2 \cdot \sin{ (-x)} - (\cos{ x} )^2 + 2 = 0$

$- 2 \cdot \sin{ x} - (\cos{ x} )^2 + 2 = 0$

$- 2 \cdot \sin{ x} - (\cos{ x} )^2 = -2$

$(\cos{ x} )^2 + 2 \cdot \sin{ x} = 2$

$(\cos{ x} )^2 + 2 \cdot \sin{ x} = 1 + 1$

$(\cos{ x} )^2 + 2 \cdot \sin{ x} = 1 + (\sin{ x} )^2 + (\cos{ x} )^2$

$2 \cdot \sin{ x} = 1 + (\sin{ x} )^2$

$(\sin{ x} )^2 - 2 \cdot \sin{ x} + 1 = 0$

Nyní můžeme zavést substituci $a = \sin{ x}$. Aplikujme ji na naši rovnici.

$a^2 - 2 \cdot a + 1 = 0$

$(a - 1)^2 = 0$

Zrušme substituci:

$(\sin{ x} - 1)^2 = 0$

Možnými řešeními jsou tedy řešení rovnice

$\sin{ x} = 1$, což je množina

{ $\frac{ \pi} { 2} \ + k \cdot \pi \cdot 2\ |\ k \in \mathbb{ Z}$} . Vzhledem k našim podmínkám řešitelnosti ji však musíme nutně omezit na

{ $\frac{ \pi} { 2} \ + k \cdot \pi \cdot 2\ |\ k \in \mathbb{ Z} ^-$} .

Celkovým řešením zadané rovnice je tedy množina

$M =\ ${ $\frac{ 3 \cdot \pi} { 2} \ + k \cdot \pi \cdot 2\ |\ k \in \mathbb{ N} _0$} $\cup$ { $\frac{ \pi} { 2} \ + k \cdot \pi \cdot 2\ |\ k \in \mathbb{ Z} ^-$} .

Předpokládám, že řešení jednotlivých podúloh je nyní zřejmé.