Rovnice o dvou neznámých

Prosím o pomoc s rovnicí o dvou neznámých.

Zadání zní: Najděte nejmenší kladná celá čísla a a b, pro která platí 7a^3 = 11b^5

✓   Téma bylo vyřešeno.

Obtížnost: Základní škola
Kategorie: Rovnice
Adam D.

Adam D.

05. 01. 2023   15:14

8 odpovědí

Jan Z.
Jan Z.
05.01.2023 17:54:24

Ahoj,

jelikož jsou 7 a 11 prvočísla, je potřeba, aby se jejich mocniny na levé a pravé straně rovnaly.

Čísla \(a\) a \(b\) budou tedy nějakým jejich společným násobkem tak, aby vše sedělo.

Marek V.
Marek V.
05.01.2023 17:59:17

To je priklad z letosni olympiady. To bys mel Adame zkusit sam.

Souhlasí: 1    
Adam D.
Adam D.
05.01.2023 19:44:15

Nechtěl by jste na to natočit video? (až budete mít čas) Pořád to nechápu.

Marek V.
Marek V.
05.01.2023 19:55:36

Adame, tohle je aktualni zadani matematicke olympiady. Kdyz na to natocim video, tak celou olympiadu zkazim. Ta uloha je moc zajimava, ale tocit o tom muzu az bude tohle kolo uzavrene. Kdy se odevzdavaji reseni?

Adam D.
Adam D.
05.01.2023 20:18:50

9.1., je to na stránkách MO (myslel jsem až po termínu odevzdání, byla by pošetilost něco takového po vás chtít. A ano vím, že si teď protiřečím)

Vladislav M.
Vladislav M.
08.01.2023 03:09:57

Tuto rovnici lze řešit pomocí faktorizace.

Nejprve lze zjistit, že 7 a 11 jsou prvočísla, takže není možné najít další činitele pro a^3 nebo b^5. V takovém případě je nejlepší zkusit rozdělit obě strany rovnice tak, aby se dostal nějaký společný faktor.

7a^3 = 11b^5

7a^3 / 11 = b^5

(7a^3) / (11b^5) = 1

(7a^2) / b = 1

7a^2 = b

Tuto rovnici lze teď řešit pomocí metody trial and error, tedy zkoušením různých hodnot pro a a b a zjišťováním, zda splňují podmínky rovnice.

Například pokud bychom zkusili hodnoty a = 1 a b = 7, rovnice by vycházela jako 7 * 1^3 = 11 * 7^5, což je pravdivé.

Toto je ale nejmenší řešení, takže nejmenší kladná celá čísla a a b jsou 1 a 7.

Odpověď: a = 1, b = 7

    Nesouhlasí: 3
Jan Z.
Jan Z.
10.01.2023 13:52:33

Ahoj, už je po termínu, tak tu asi můžeme odhalit řešení...

Vzhledem k povaze úlohy - rovnost součinů - vidíme, že čísla \(a,b\) budou nějakými násobky \(7\) a \(11\).

Vzhledem k tomu, že jsou to obě prvočísla, můžeme psát rovnost mocnin prvočísel na každé straně. Exponenty u sedmičky označíme \(k\), exponenty u jedenáctky \(l\).

\(1 + 3 k_1 = 5k_2\) a budeme zkoušet dosazovat za \(k_1 = 1, 2, 3...\) dokud nevyjde \(k_2\) celé. Řešení je \(k_1 = 3, k_2 = 2\)

To samé pro \(l\):

\(3l_1 = 1 + 5l_2\), řešení je \(l_1 = 2, l_2 = 1\).

Máme tedy \(a = 7^{ k_1} \cdot 11^{ l_1} = 7^3\cdot 11^2\) a \(b = 7^{ k_2} \cdot 11^{ l_2} = 7^2\cdot 11^1 = 49\)

Souhlasí: 2    
Otula A.
Otula A.
11.01.2023 22:29:49

@Jan: Super!

Pro napsání komentáře se musíte přihlásit.