Rovnice o dvou neznámých

Ahoj,

jelikož jsou 7 a 11 prvočísla, je potřeba, aby se jejich mocniny na levé a pravé straně rovnaly.

Čísla \(a\) a \(b\) budou tedy nějakým jejich společným násobkem tak, aby vše sedělo.

To je priklad z letosni olympiady. To bys mel Adame zkusit sam.

Nechtěl by jste na to natočit video? (až budete mít čas) Pořád to nechápu.

Adame, tohle je aktualni zadani matematicke olympiady. Kdyz na to natocim video, tak celou olympiadu zkazim. Ta uloha je moc zajimava, ale tocit o tom muzu az bude tohle kolo uzavrene. Kdy se odevzdavaji reseni?

9.1., je to na stránkách MO (myslel jsem až po termínu odevzdání, byla by pošetilost něco takového po vás chtít. A ano vím, že si teď protiřečím)

Tuto rovnici lze řešit pomocí faktorizace.

Nejprve lze zjistit, že 7 a 11 jsou prvočísla, takže není možné najít další činitele pro a^3 nebo b^5. V takovém případě je nejlepší zkusit rozdělit obě strany rovnice tak, aby se dostal nějaký společný faktor.

7a^3 = 11b^5

7a^3 / 11 = b^5

(7a^3) / (11b^5) = 1

(7a^2) / b = 1

7a^2 = b

Tuto rovnici lze teď řešit pomocí metody trial and error, tedy zkoušením různých hodnot pro a a b a zjišťováním, zda splňují podmínky rovnice.

Například pokud bychom zkusili hodnoty a = 1 a b = 7, rovnice by vycházela jako 7 * 1^3 = 11 * 7^5, což je pravdivé.

Toto je ale nejmenší řešení, takže nejmenší kladná celá čísla a a b jsou 1 a 7.

Odpověď: a = 1, b = 7

Ahoj, už je po termínu, tak tu asi můžeme odhalit řešení...

Vzhledem k povaze úlohy - rovnost součinů - vidíme, že čísla \(a,b\) budou nějakými násobky \(7\) a \(11\).

Vzhledem k tomu, že jsou to obě prvočísla, můžeme psát rovnost mocnin prvočísel na každé straně. Exponenty u sedmičky označíme \(k\), exponenty u jedenáctky \(l\).

\(1 + 3 k_1 = 5k_2\) a budeme zkoušet dosazovat za \(k_1 = 1, 2, 3...\) dokud nevyjde \(k_2\) celé. Řešení je \(k_1 = 3, k_2 = 2\)

To samé pro \(l\):

\(3l_1 = 1 + 5l_2\), řešení je \(l_1 = 2, l_2 = 1\).

Máme tedy \(a = 7^{ k_1} \cdot 11^{ l_1} = 7^3\cdot 11^2\) a \(b = 7^{ k_2} \cdot 11^{ l_2} = 7^2\cdot 11^1 = 49\)

@Jan: Super!