Rovnice tečny - nedostatečné vysvětlení

Rád bych se zeptal, pokud máme hledat rovnici tečny u funkce \(f(x)=ln\frac{ 1} { x+\sqrt{ { x} ^{ 2} -1} } \) v bodě T [1;0] , kde první derivace nám vyjde,

\(f´(x)=\frac{ 1} { \sqrt{ { x} ^{ 2} -1} } \)

a hodnota pro k \(f´(1)=\frac{ 1} { 0} \), nemělo by v tomto případě existovat, z důvodu definice tečny jakožto přímky s jedním dotykovým bodem s danou křivkou, nekonečně mnoho řešení, místo toho že neexistuje žádná přímka, což udává učitel a vlastně i rovnice tečny? Učitel nám to nebyl schopen vysvětlit a nám to nedává smysl, děkuji


Obtížnost: Střední škola
Kategorie: Derivace
Ondřej Š.

Ondřej Š.

02. 02. 2021   11:42

4 odpovědi

Tomáš K.
Tomáš K.
03.02.2021 22:23:46

Přeji krásný večer, Ondřeji!

Pro funkci jedné proměnné \(f\) platí, že pokud je direferencovatelná v bodě \(x = a\), pak právě tehdy má graf funkce \(f\) nevertikální tečnu se směrnicí \(f'(a)\), kde bod \((a, f(a))\) je dotykovým bodem.

Nutnou podmínkou existence této tečny je tedy diferencovatelnost funkce v daném bodě. Jak velmi správně uvádíte, funkce \(f\) nemá v bodě \(T\) žádnou derivaci. Neexistuje tedy žádná taková tečna funkce \(f\), kde by bod \(T\) byl dotykovým bodem.

Souhlasí: 1    
Zeněk R.
Zeněk R.
04.02.2021 08:17:28

Zdravím,

jen bych doplnil, že výše zmíněné znamená, že neexistuje tečna nevertikální (tj. tečna, kterou můžeme napsat jako přímku ve směrnicovém tvaru). Vertikální může (ale nemusí) existovat.

Souhlasí: 1    
Ondřej Š.
Ondřej Š.
04.02.2021 08:24:23

Mockrát děkuji

Martin S.
Martin S.
04.02.2021 13:16:31

Zdravím, jen doplním, že tato fce je dobře definována pouze na \( [1, \infty ) \) , takže derivace v 1 rozhodně neexistuje, existuje však derivace zprava, a ta je rovna \( +\infty \) .

Pro napsání komentáře se musíte přihlásit.