Součet nekonečné řady

Tak jsem použil Cauchyho kritérium a vyšlo mi že řada konverguje, ale je možný počítat nějaký reálný číselný výsledek?

Ahoj, trochu bych tam povytýkal, aby bylo všude "na k", tedy

$= \frac{ 5} { 12} \sum_{ k=2} ^{ +\infty} \left(-\frac{ 3} { 4} \right)^k$

což je geometrická řada, kterou sčítat umíme...

pardon, má tam být vytknuto 5/6, ne 5/12

Ty členy jsou : a1 = 15/32, a2= - 45/128, a3=135/512 , a4 = - 405/2048, a5 = 1515/8192 horní část je násobkem 3, dolní 4, čili (15/32)/(3/4) = 5/8, takže před sumou bude 5/8 * suma (-1)^i * (3/4) ^ i-1 (od i=2 do nekonečna) . Liché členy jsou kladné, sudé záporné, takže to (-) se musí řídit s o jednotku posunutým indexem.

a5= 1215/8192 (ne 1515)

Součet geometrické posloupnosti (s $|q| < 1$) spočítáme podle vzorce

$s = \frac{ a_1} { 1-q}$

V našem případě dostaneme ten první člen pro $k = 2$, tedy $a_1 = \frac{ 5} { 6} \left(-\frac{ 3} { 4} \right)^2 = \frac{ 15} { 32}$. Kvocient bude $q = -\frac{ 3} { 4}$

Součet řady bude tedy

$s = \frac{ \frac{ 15} { 32} } { 1+\frac{ 3} { 4} } = \frac{ 15} { 56}$