Součet nekonečné řady
Zdravím, mám dotaz ohledně součtu nekonečné řady. Nějak si moc nevím rady jak dosáhnout nějakého kloudného výsledku.
Nejdříve jsem si posunul K o jedno a sumu jsem počítal od k=1 (V příkladu jsem ke každému k přičetl jedničku. Pak jsem nějak tak počítal, ale moc daleko jsem se nedostal :/
Má někdo nějaký nápad jak na to? :P
Karel B.
11. 04. 2023 20:49
6 odpovědí
Tak jsem použil Cauchyho kritérium a vyšlo mi že řada konverguje, ale je možný počítat nějaký reálný číselný výsledek?
Ahoj, trochu bych tam povytýkal, aby bylo všude "na k", tedy
\( = \frac{ 5} { 12} \sum_{ k=2} ^{ +\infty} \left(-\frac{ 3} { 4} \right)^k\)
což je geometrická řada, kterou sčítat umíme...
pardon, má tam být vytknuto 5/6, ne 5/12
Ty členy jsou : a1 = 15/32, a2= - 45/128, a3=135/512 , a4 = - 405/2048, a5 = 1515/8192 horní část je násobkem 3, dolní 4, čili (15/32)/(3/4) = 5/8, takže před sumou bude 5/8 * suma (-1)^i * (3/4) ^ i-1 (od i=2 do nekonečna) . Liché členy jsou kladné, sudé záporné, takže to (-) se musí řídit s o jednotku posunutým indexem.
a5= 1215/8192 (ne 1515)
Součet geometrické posloupnosti (s \(|q| < 1\)) spočítáme podle vzorce
\(s = \frac{ a_1} { 1-q} \)
V našem případě dostaneme ten první člen pro \(k = 2\), tedy \(a_1 = \frac{ 5} { 6} \left(-\frac{ 3} { 4} \right)^2 = \frac{ 15} { 32} \). Kvocient bude \(q = -\frac{ 3} { 4} \)
Součet řady bude tedy
\(s = \frac{ \frac{ 15} { 32} } { 1+\frac{ 3} { 4} } = \frac{ 15} { 56} \)