Teorie čísel

Ahoj,

počet dělitelů daného čísla můžeme snadno zjistit pomocí jeho prvočíselného rozkladu. Např. číslo s prvočíselným rozkladem $p_1^a\cdot p_2^b$ má $(a+1)(b+1)$ dělitelů.

Konkrétně např. číslo $11^3\cdot 13^2$ má $(3+1)(2+1)=12$ dělitelů, nebo číslo $5^4\cdot 11^2\cdot17$ má $(4+1)(2+1)(1+1) =30$ dělitelů.

Je to tvrzení Gaussovy věty a platí pro libovolný počet prvočísel v rozkladu. Viz např. ke konci dokumentu https://www.pf.jcu.cz/stru/katedry/m/zahrarn9.pdf

Ahoj, děkuju moc, ty první tři jsem schopen vyřešit, ale nevíš, jak vyřešit to d a e z těch úloh? Stačilo by samozřejmě jenom nápověda, jakým směrem se mám vydat. Děkuju Ti.

Číslo $N$ má $(2+1)(4+1)=3\cdot 5 = 15$ dělitelů. Číslo $15$ lze rozložit jen dvěma způsoby, jako $3\cdot 5$ nebo $15\cdot 1$.

Stejný počet dělitelů jako číslo $N$ mají všechna čísla, jejichž prvočíselný rozklad je typu $p_1^2\cdot p_2^4$, která tedy mají $(2+1)(4+1)=15$ dělitelů, nebo čísla typu $p^{ 14}$, která mají také $(14+1)=15$ dělitelů.

d) Zkusíme najít taková pročísla $p_1, p_2$, aby $p_1^2\cdot p_2^4 <120$.

e) Hledáme všechny prvočíselné rozklady typu $A = p_1^2\cdot p_2^4$ (resp. příslušná prvočísla), aby číslo $A$ bylo menší než $N=3^2\cdot 7^4$. Dále hledáme čísla typu $p^{ 14}$, která by mohla být menší než $N$. Myslím, že ani nemusíme provádět výpočty.

Pozn.: Na střední škole se Gaussova věta o počtu prvočísel nejspíš neučí. Počet dělitelů najdeme pomocí rozkladu, různými "kombinacemi" prvočísel a jejich mocnin (viz odkaz výše), nebo výčtem, např. $120 = 1\cdot 120 = 2\cdot 60 = 3\cdot 40 = \dots$

Díky moc za pomoc!