Teorie čísel

Ahoj,

počet dělitelů daného čísla můžeme snadno zjistit pomocí jeho prvočíselného rozkladu. Např. číslo s prvočíselným rozkladem \( p_1^a\cdot p_2^b \) má \( (a+1)(b+1) \) dělitelů.

Konkrétně např. číslo \( 11^3\cdot 13^2 \) má \( (3+1)(2+1)=12 \) dělitelů, nebo číslo \( 5^4\cdot 11^2\cdot17 \) má \( (4+1)(2+1)(1+1) =30 \) dělitelů.

Je to tvrzení Gaussovy věty a platí pro libovolný počet prvočísel v rozkladu. Viz např. ke konci dokumentu https://www.pf.jcu.cz/stru/katedry/m/zahrarn9.pdf

Ahoj, děkuju moc, ty první tři jsem schopen vyřešit, ale nevíš, jak vyřešit to d a e z těch úloh? Stačilo by samozřejmě jenom nápověda, jakým směrem se mám vydat. Děkuju Ti.

Číslo \( N \) má \( (2+1)(4+1)=3\cdot 5 = 15 \) dělitelů. Číslo \( 15 \) lze rozložit jen dvěma způsoby, jako \( 3\cdot 5 \) nebo \( 15\cdot 1 \).

Stejný počet dělitelů jako číslo \( N \) mají všechna čísla, jejichž prvočíselný rozklad je typu \( p_1^2\cdot p_2^4 \), která tedy mají \( (2+1)(4+1)=15 \) dělitelů, nebo čísla typu \( p^{ 14} \), která mají také \( (14+1)=15 \) dělitelů.

d) Zkusíme najít taková pročísla \( p_1, p_2 \), aby \( p_1^2\cdot p_2^4 <120\).

e) Hledáme všechny prvočíselné rozklady typu \( A = p_1^2\cdot p_2^4 \) (resp. příslušná prvočísla), aby číslo \( A \) bylo menší než \( N=3^2\cdot 7^4 \). Dále hledáme čísla typu \( p^{ 14} \), která by mohla být menší než \( N \). Myslím, že ani nemusíme provádět výpočty.

Pozn.: Na střední škole se Gaussova věta o počtu prvočísel nejspíš neučí. Počet dělitelů najdeme pomocí rozkladu, různými "kombinacemi" prvočísel a jejich mocnin (viz odkaz výše), nebo výčtem, např. \( 120 = 1\cdot 120 = 2\cdot 60 = 3\cdot 40 = \dots \)

Díky moc za pomoc!