Výpočet extrému pomocí derivací

Zdravím,

Jednu stranu obdélníka si označíš \(x\) a druhou \(y\). Potom z podobnosti trojúhelníků (obrázek) plyne \(\frac y{ 4-x} =\frac34\ \Rightarrow\ y=3-\frac34x\)

Obsah obdélníka je \(S=xy=x\left(3-\frac34x\right)=3x-\frac34x^2\)

Vypočítáš si derivaci a položíš ji rovnu nule

\(S^\prime=3-\frac32x=0\ \Rightarrow\ x=2\) (Jedná se o maximum. To je triviálně vidět z toho, že jde o kvadratickou funkci se záporným koeficientem u kvadratického členu)

\(S_{ max} =S(2)=3\cdot2-\frac34\cdot2^2=3\)

Nebo můžeš využít graf funkce: \( y=3-\frac{ 3} { 4} x \)

\( b=3-\frac{ 3} { 4} a \)

\(S=ab \)

\(S=a\left(3-\frac{ 3} { 4} a\right) \)

derivovat podle proměnné \(a \) atd.