Výpočet jednostranné limity u goniometrických funkcí pomocí L'Hospitala

Ahoj, určitě by to šlo i nějakými známými limitami, ale, pokud můžeme využít l'Hospitala:

$\lim_{ x\to 0+} \left(\frac{ 1} { x} \right)^{ \tan x} = \lim_{ x\to 0+} e^{ -\tan x \log x} = e^{ \lim_{ x\to 0+} \frac{ \log x} { \cot x} } = \exp\left[ -\lim_{ x\to 0+} \frac{ 1/x} { -\frac{ 1} { \sin^2 x} } \right] = \exp\left[\lim_{ x\to 0+} \frac{ \sin x} { x} \sin x \right] = \exp(1\cdot 0) = 1$

V první úpravě přepisuju mocnění na exponenciálu

Druhý krok přesouvá limitu do exponenciály - je to prostá funkce třídy $C^\infty$, takže můžu.

V dalším kroku aplikuji l'Hospitalovo pravidlo na limitu typu $\frac{ \infty} { \infty}$.

Následuje přerovnání zlomku do příhodné podoby.

V předposledním kroku je pak použita známá limita $\lim_{ x\to 0} \frac{ \sin x} { x} = 1$ a věta o limitě součinu a následně jen vyčíslení.