Výpočet jednostranné limity u goniometrických funkcí pomocí L'Hospitala
Dobrý den,
nevíte prosím někdo jak na tento příklad? Mám limitu x jdoucí do 0+ (1/x) na tg x
Upravím si to na 1/x na (tgx)
A teď použiju vzorec, v čitateli bude (x na tx)' a ve jmenovateli bude (x na tgx), ale nějak nevím, jak to zderivovat abych došla k výsledku limity 1. Neporadil byste mi prosím někdo? Děkuji moc :)
Elen K.
10. 12. 2022 15:43
2 odpovědi
Ahoj, určitě by to šlo i nějakými známými limitami, ale, pokud můžeme využít l'Hospitala:
\(\lim_{ x\to 0+} \left(\frac{ 1} { x} \right)^{ \tan x} = \lim_{ x\to 0+} e^{ -\tan x \log x} = e^{ \lim_{ x\to 0+} \frac{ \log x} { \cot x} } = \exp\left[ -\lim_{ x\to 0+} \frac{ 1/x} { -\frac{ 1} { \sin^2 x} } \right] = \exp\left[\lim_{ x\to 0+} \frac{ \sin x} { x} \sin x \right] = \exp(1\cdot 0) = 1\)
V první úpravě přepisuju mocnění na exponenciálu
Druhý krok přesouvá limitu do exponenciály - je to prostá funkce třídy \(C^\infty\), takže můžu.
V dalším kroku aplikuji l'Hospitalovo pravidlo na limitu typu \(\frac{ \infty} { \infty} \).
Následuje přerovnání zlomku do příhodné podoby.
V předposledním kroku je pak použita známá limita \(\lim_{ x\to 0} \frac{ \sin x} { x} = 1\) a věta o limitě součinu a následně jen vyčíslení.