1 se rovná 0,999999 (dotaz po shlédnutí videa)
Zdravím, kamarád mě odkázal na video kde se 1 rovná 0,9999 periodického a to mě dosti zmátlo a snažil jsem se dokázat že tomu tak není, po krátké době jsem přišel na to že je tomu pouze tak pokud násobím číslem 10 a jeho logaritmy, takže je správně když to vynasobím např. 2,5 a nevyjde mi to ze se to rovná? A to tedy znamená že 1 se nerovná 0,999999?
Jakub Z.
17. 12. 2019 06:26
3 odpovědi
Ahoj Jakube,
otázkou je, jak správně vynásobit dvě čísla s nekonečným desetinným rozvojem. Narozdíl od "papírové" metody to musíš dělat zleva doprava a v průběhu výpočtu opatrně přenášet zbytky. Důvody, proč to nejde počítat "zprava doleva", jak jsi zvyklý, jsou velice komplikované a chce to znát určité konstrukce z Teorie množin.
Nicméně, když zkusíš násobit delší a delší rozvoje ve tvaru 0.9...9 (a tudíž konečných čísel), vyskočí tam určitý vzorec.
2.5 * 0.9 = 2.25 2.5 * 0.99 = 2.475 2.5 * 0.999 = 2.4975 2.5 * 0.9999 = 2.49975 2.5 * 0.99999 = 2.499975
Asi vidíš, že čím delší bude rozvoj na levé straně, tím více devítek bude na straně pravé ve tvaru 2.49....975. Otázkou je, co se stane s hodnotou "75" na konci, když půjdeš do nekonečna?
Intuitivní odpověď bude chybná, v nekonečnu se totiž "75" ztratí. Důvodem je nahrazení členem 9 po přičtení následující hodnoty 0.0...0249...975, což bychom mohli dokázat matematickou indukcí.
V nekonečnu tedy platí: 2.5 * 0.9999999... = 2.49999999...
Desetinný rozvoj, který ses učil, má jednu nevýhodu, kterou je, že každé reálné číslo můžeme zapsat dvěma způsoby (tohle platí pro každý rozvoj, nejen se základem 10). A podle konvence dáváme přednost konečnému zápisu oproti nekonečnému rozvoji devítek.
Příklad: 2.5 = 2.499999... 35.293 = 35.29299999... 10.9 = 10.899999....
Markovo video pak neobsahuje matematický důkaz, je zaměřené jenom na intuitivní vysvětlení. Pro skutečný důkaz si musíš desetinný rozvoj rozepsat jako geometrickou řadu s kvocientem 1/10 a ukázat, že oba zápisy dávají v nekonečnu stejnou hodnotu. Důkazu se Marek, myslím, věnoval ve svém předchozím videu na stejné téma.
Nakolik je tahle úloha zajímavá, tak je smůla, že se často prezentuje jako hádanka nebo vtip, takže se zdá, že je v tom chyták. Není. Je to rigorózní matematika a jednoduchý princip, který se na střední škole neučí, ale na vysoké se to bere jako samozřejmost.
Ještě dodám, že koho by zajímal úplný a korektní důkaz, tak Jarníkův Diferenciální počet I obsahuje kompletní stavbu teorie reálných čísel za použití řezů (namísto Teorie množin). A i když je to už starší kniha, tak jeho pedagogický přístup je pořád naprosto nedostižný s přehlednými a pečlivě sestavenými důkazy.
Je to přesně tak, jak píše Tomáš :-) Tome díky za vyčerpávající vysvětlení.