5. video - základní myšlenka

Proc by nemohly platit soucasne? Dyt jedna vyplyva z druhe. Nebo mi neco unika?

Jirko, vnímej to spíše jako definici, nebo spíše axiom, který se "nedokazuje".

Tj. všechno v komplexních číslech platí za předpokladu, že \(i=\sqrt{ -1} \).

Beru zpet. Uz vim o cem Jirka mluvi a ma pravdu.

Jestliže \( i=\sqrt{ -1} \) a současně \( i^2=-1 \), pak také

\( -1 = i^2= i.i=\sqrt{ -1} \sqrt{ -1} = \sqrt{ (-1).(-1)} = \sqrt{ 1} = 1 \)

takže -1 = 1. Kde je chyba?

Chyb je tam hned několik, protože mícháš jablka a hrušky.

Sekvenci rovnítek začínáš operacemi v komplexním oboru.

\( -1 = i^2 = i.i = \sqrt{ -1} .\sqrt{ -1} \)

Pak najednou přejdeš do reálných čísel pomocí nesmyslné operace.

\( \sqrt{ -1} \sqrt{ -1} = \sqrt{ -1 . -1} \)

A další tři rovnosti už jsou na reálném oboru jako by se nechumelilo :)

\( \sqrt{ -1 . -1} = \sqrt{ 1} = 1 \)

Kromě té první chyby při zanedbání číselného oboru je závěr výpočtu na komplexních číslech správně takhle.

\( \sqrt{ -1 . -1} = \sqrt{ 1} = -1 = e^{ \pi.i} \)

Btw, práce s číselnými obory chce trochu praxe, jinak je velmi snadné se splést "intuitivním" přístupem.

Na komplexních číslech máme výhodu, že pro každé komplexní číslo máme tři alternativní zápisy a lze dokázat, že pro fixní (a, b) jsou všechny formy unikátní.

\( a + bi = z (cos{ x} + sin{ x} ) = z.e^{ x.i} \)

Takže když máš nějakou sekvenci identit, zapiš si číslo v trigonometrickém nebo exponenciálním tvaru a rychle přijdeš na to, kde děláš chybu.

Ale Tomáši, ta jabka s hruškama začalo nesmyslně míchat to video, já jsem z toho jenom vyvodil důsledek, kde je ten nesmysl víc vidět. Když první, co o komplexních číslech napíšeš, je \( i=\sqrt { -1} \), tak je to prostě blbost. Reálná odmocnina to být nemůže a komplexní taky ne, protože komplexní čísla teprve zavádíš, takže ještě ani nevíš, co to je. Navíc i kdybych prominul tu definici kruhem (komplexní číslo se zavádí pomocí odmocniny z komplexního čísla) komplexní odmocnina má dvě hodnoty, takže \( i=\sqrt { -1} \) je špatně i v komplexním oboru.

A propos, to tvoje "správně je \( \sqrt { 1} =-1 \) " není správně ani v reálném, ani v tom komplexním...

Jasně, video jsem neviděl a myslel jsem, že se ptá středoškolák :-) Ale upřímně si nejsem jistý, jestli by úvod do komplexních čísel měl začínat axiomatizací tělesa, když student ještě nechápe koncept ortogonalizace nebo extenze. Celá teorie pak sice dává o dost větší smysl a ano, podobné věci jsou matoucí, ale trochu intuitivnější přístup bližší známé látce mi přijde přirozenější. V podobném duchu pak také můžu prohlásit, že "odmocnina" z 1 existuje a je to -1, protože kořeny na jednotkovém kruhu konceptuálně splňují chápání odmocniny.

Ta videa jsou součástí tohoto webu. Jak jsem uvedl v titulku dotazu, je to 5. video a já jsem to video přesně citoval - dostupné zde:

https://www.youtube.com/watch?v=aKAbOuV8rUw

Nikde jsem nemluvil o axiomatizaci tělesa. Naopak - to, co je správně, by bylo jednodušší, než to, co je na videu - stačilo jenom vynechat tu první "základní myšlenku", která je špatně.

Intuice samozřejmě, ale i při intuitivním přístupu se kantor musí vyvarovat chyb.

I když chápu, kde vidíš problém, tak v tom pořád nevidím nic strašného kromě toho, že středoškolák neví, co je to "odmocnina" a může se splést přitom, když ji špatně použije.

Axler ve své Linear algebra done right zavádí těleso C následující poznámkou:

Complex numbers were invented so that we can take square roots of negative numbers. The idea is to assume we have a square root of -1, denoted i, that obeys the usual rules of arithmetic.

A následně pomocí pravidla multiplikace dokáže, že \( i^2 = -1 \) což odpovídá tomu, co jsem už říkal - bez axiomatického schématu je hodně věcí podivných a nejasných. Takže když tvrdíš, že pomocí reálné funkce f() dojdeš na C ke sporu, pak je to cílená chyba, které studenti ještě další 4 roky nebudou rozumět. A tvrdit, že alespoň jedna z uvedených rovností neplatí, je taky matoucí, protože popíráš motivaci zavedení nového tělesa.

V našem případě se můžeme opřít o lepší strukturu, která zpočátku prostě chybí. A tak nějak mi to přijde jako akceptovatelné "zlo".

"...středoškolák neví, co je to "odmocnina" a může se splést přitom, když ji špatně použije"

Ale proboha, na to videu není středoškolák !!!!!!! To je učitel, který učí dvacet let, a živí se vedením tohoto vebu, právě takovými videi a psaním matematických učebnic !!!!!

"...středoškolák neví, co je to "odmocnina" a může se splést přitom, když ji špatně použije"

Ale proboha, na tom videu není středoškolák !!!!!!! To je učitel, který učí dvacet let, a živí se vedením tohoto vebu, právě takovými videi a psaním matematických učebnic !!!!!

"...středoškolák neví, co je to "odmocnina" a může se splést přitom, když ji špatně použije"

Ale proboha, na tom videu není středoškolák !!!!!!! To je učitel, který učí dvacet let, a živí se vedením tohoto webu, právě takovými videi a psaním matematických učebnic !!!!!