Odmocnina z i
Dobrý den, když je možné vypočítat například \(2^i=e^{ \ln{ 2^i} } =e^{ i*\ln{ 2} } =\cos{ \ln{ 2} } +i*\sin{ ln{ 2} } \) (nebudu to převádět na algebraický tvar), bylo by možné i nějak vypočítat \(sqrt{ i} \)?
Prosím o pomoc, nedokážu si to vypočítat sám, jsem v 8. třídě na základce..
Děkuji za odpověď.
P.S. předem se omlouvám za možné chyby v LaTeX, pokud něco nebude fungovat -->
- 2^i = e^ln(2^i) = e^iln(2) = cos(ln(2)) + isin(ln(2))
- √i
Pavel V.
16. 11. 2020 19:45
4 odpovědi
Samotné imaginární číslo si můžeš vyjádříš v alternativním tvaru, kde se to pak počítá snadněji
\( i = e^{ i\frac{ \pi} { 2} } = \cos\frac{ \pi} { 2} + i\sin\frac{ \pi} { 2} \)
Potom platí
\( \sqrt{ i} = e^{ i\frac{ \pi} { 4} } = \cos\frac{ \pi} { 4} + i\sin\frac{ \pi} { 4} = 0.70710678+i0.70710678 = \frac{ 1+i} { \sqrt{ 2} } \)
A všechno to jsou různá vyjádření stejné hodnoty.
Odmocninu z i spočítáš snadno i se znalostmi základní školy - tedy až na \(i^2=-1\) .
Protože platí \((1+i)^2=2i\), tak jednoduchou úpravou dostaneš \(\sqrt i=\pm\frac{ 1+i} { \sqrt2} \)
Alternativně to můžeš spočítat takhle. Tohle by ti mělo být více povědomé, tím že si na základce, kde by se komplexní čísla vůbec neměla brát. Nejefektivnější je to však přes exponenciálu, tak jak to dělal Tomáš. Já to počítal tak, že jsem si uvědomil, jak se obecně zapíše komplexní číslo a pak jsem řešil jednoduchou soustavu rovnic o dvou neznámých.
Děkuji mockrát pomohli jste mi.