Dobrý den, když je možné vypočítat například \(2^i=e^{\ln{2^i}}=e^{i*\ln{2}}=\cos{\ln{2}}+i*\sin{ln{2}}\) (nebudu to převádět na algebraický tvar), bylo by možné i nějak vypočítat \(sqrt{i}\)?

Prosím o pomoc, nedokážu si to vypočítat sám, jsem v 8. třídě na základce..

Děkuji za odpověď.

P.S. předem se omlouvám za možné chyby v LaTeX, pokud něco nebude fungovat -->

  1. 2^i = e^ln(2^i) = e^iln(2) = cos(ln(2)) + isin(ln(2))
  2. √i

Obtížnost: Vysoká škola
Pavel V.

Pavel V.

16. 11. 2020   19:45

4 odpovědi

Tomáš B.
Tomáš B.
16.11.2020 21:45:40

Samotné imaginární číslo si můžeš vyjádříš v alternativním tvaru, kde se to pak počítá snadněji

\( i = e^{i\frac{\pi}{2}} = \cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2} \)

Potom platí

\( \sqrt{i} = e^{i\frac{\pi}{4}} = \cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4} = 0.70710678+i0.70710678 = \frac{1+i}{\sqrt{2}} \)

A všechno to jsou různá vyjádření stejné hodnoty.

Souhlasí: 1    
Zeněk R.
Zeněk R.
16.11.2020 22:26:02

Odmocninu z i spočítáš snadno i se znalostmi základní školy - tedy až na \(i^2=-1\) .

Protože platí \((1+i)^2=2i\), tak jednoduchou úpravou dostaneš \(\sqrt i=\pm\frac{1+i}{\sqrt2}\)

    Nesouhlasí: 1
Jan K.
Jan K.
17.11.2020 16:07:37

Alternativně to můžeš spočítat takhle. Tohle by ti mělo být více povědomé, tím že si na základce, kde by se komplexní čísla vůbec neměla brát. Nejefektivnější je to však přes exponenciálu, tak jak to dělal Tomáš. Já to počítal tak, že jsem si uvědomil, jak se obecně zapíše komplexní číslo a pak jsem řešil jednoduchou soustavu rovnic o dvou neznámých.

Souhlasí: 1    
Pavel V.
Pavel V.
18.11.2020 07:25:49

Děkuji mockrát pomohli jste mi.

Pro napsání komentáře se musíte přihlásit.