Dělení nulou

Ahoj Štěpáne, prý ano, ale já to neumím. Komplexní analýzu jsem měl někdy před 15 lety a už si to nepamatuju, třeba na tvůj dotaz odpoví Vladan, ten to má v malíku :-).

Ahoj, pokud uvažuješ komplexní čísla rozšířené o komplexní nekonečno, tzv. množinu rozšířených komplexních čísel, pak je dělení nulou definováno právě jako komplexní nekonečno, tzn. pro nenulové komplexní číslo z se definuje z/0 = \(\infty\) . Komplexní nekonečno chápej jako číslo, jehož absolutní hodnota je nekonečno, ale argument je nedefinovaný. To znamená, hodně moc laicky, že je to nějaké číslo "hodně daleko od počátku, ale nedá se říct, jakým směrem". Z toho je vcelku vidět, že něco jako součet dvou komplexních nekonečen nedává smysl, je to tzv. neurčitý výraz. Kdyby tě téma zajímalo dál, přečti si něco o Riemannově sféře, pomůže ti to hlouběji porozumět tomu, co se ve skutečnosti děje. Na základě toho, že si téma zařadil do středoškolské matematiky, do toho nebudu zabíhat.

Snad vysvětlení dává alespoň trošku smysl, ať se ti daří!

Ahoj,

doplním Vladana o poznámku, že v komplexních číslech se stejně jako v reálných číslech nulou dělit opravdu nedá. Existují ovšem určité oblasti, kdy by se to hodilo, a proto se zavádí takzvaná "rozšířená komplexní čísla", kde si řekneme, že to jde. Je ovšem důležité zdůraznit, že "rozšířená komplexní čísla" NEJSOU "komplexní čísla".

Teorie míry se zabývá velikostí nebo obsahem (spravné označení je mírou) množin a tady vzniká motivace, proč se hodí umět pracovat s nekonečnem jako s číslem a nebo dělit nulou. Zkus se zamyslet nad následujícími příklady.

Představ si obdélník, jehož jednu stranu natahuješ a druhou zkracuješ tak dlouho, až má první strana nekonečnou délku a druhá strana má nulovou délku. Dohoda zní, že jeho obsah bude nulový a z toho plyne, že nekonečno*0=0

Alternativně, pokud mám libovolný obdélník s nenulovým obsahem a stranou o nulové délce, pak musí být druhá strana nutně nekonečno, takže x/0=nekonečno

Pokud tyhle úvahy akceptuješ jako správné (což můžeš a nemusíš, občas záleží na náladě matematika), pak ti může dělení nulou nebo násobení nekonečnem hodně zjednodušit život ve spoustě výpočtů. A to je vlastně důvod, proč připustíme, že je to možné.