Analiticka Geometria

Ahoj,

A4) Parametrické vyjádření přímky je \(x = v_x \cdot t + x_0\), \(x = v_y \cdot t + y_0\), \(x = v_z \cdot t + z_0\), kde \(\vec{ v} = \vec{ \left(v_x, v_y, v_z\right)} \) je směrový vektor přímky a \(x_0, y_0, z_0\) jsou konstanty ukotvující přímku v prostoru. \(t\) je parametr. Když dosadím za \(x,y,z\) souřadnice bodu, který na přímce leží, můžu dopočítat potřebné konstanty (\(t = 0\)).

A5) Úhly dostaneme z následujícího výrazu:

\( \cos \alpha = \frac{ \vec{ v} \cdot\vec{ u} } { \left|\vec{ v} \right|\cdot\left|\vec{ u} \right|} \)

Parametrické vyjádření přímky ve 2D funguje stejně jako ve 3D, jen tam není \(z\). Směrový vektor dostanu z bodů A a B (vektor spojující dva body spočtu jako rozdíl jejich souřadnic) a střed jedné ze stran (BC, nebo AC) dostanu jako průměr souřadnic koncových bodů.

Obecná rovnice přímky je ve tvaru \(ax + by + c = 0\), kde \(\vec{ (a,b)} \) je normálový vektor té přímky, v tomhle případě shodný se směrovým vektorem strany AB a \(c\) je konstanta ukotvující přímku v prostoru, kterou dostanu po dosazení - do rovnice dosadím za \(x\) a \(y\) souřadnice bodu, který na přímce leží.

A6) Směrnicový tvar je to, co je v úloze uvedeno, tedy \(y = kx + q\). \(k\) je ta směrnice, \(q\) je konstanta ukotvující v prostoru. Opět ji dostanu dosazením souřadnic bodu do rovnice. pro přímku bodem \([0;0]\) je to nula. Směrnici kolmice dostanu jako \(k_{ \text{ perp} } = \frac{ -1} { k} \), pokud se nepletu.

Úloha 6. Směrnicový tvar rovnice přímky, která prochází počátkem, je \( y=kx \). Přímka \( y=4x \) má směrnici \( k=4 \). Kolmice také prochází počátkem, její rovnice je \( y=k'x \).

Pro směrnice navzájem kolmých přímek platí \( k\cdot k'=-1 \), z toho vypočítáme směrnici kolmice \( k' \). Doporučuji si udělat náčrtek obou přímek.