Analytická geometrie
Dobrý den, potřeboval bych pomoc s příklady, vůbec si s nimi nevím rady
- příklad
Napište obecnou rovnici roviny ρ prochzející bodem A = [1, 2, 2] tak, aby ρ byla
rovnoběžná s příımkami: p : 2x + y − z + 3 = 0, x − y − z + 4 = 0, q : x − y − z + 3 = 0, x − 2y − z + 4 = 0 2.příklad
Napište obecnou rovnici roviny procházející průsečíkem rovin
x + 2y + z − 5 = 0 2x + 3y + z − 1 = 0 2x + y + 3z − 11 = 0
počátkem souřadnicového systému [7, 1, 2]
Za pomoc moc děkuji.
Jaroslav B.
16. 01. 2021 13:08
1 odpověď
Máme dvě přímky, které leží v rovině. Po malých úpravách:
\(P: x = t, y = \frac{ 1} { 2} , z = t + \frac{ 7} { 2} \
Q: x = t, y = 1, z = t+2\)
Směrové vektory přímek jsou tedy
\( \vec{ p} = (1,0,1)\) a \( \vec{ q} = (1,0,1) \)
Jsou to rovnoběžky a normálový vektor roviny tedy takto nelze určit. Je potřeba si dopočítat jiný vektor ležící v rovině - na každé přímce určíme bod, např:
\( P: [0,\frac{ 1} { 2} ,\frac{ 7} { 2} ]\
Q: [0,1,2] \)
Směrový vektor přímky \( \vec{ PQ} = (0,\frac{ 1} { 2} ,-\frac{ 3} { 2} )\)
Nyní již můžeme normálový vektor roviny spočítat:
\(\vec{ v} = \vec{ PQ} \times \vec{ p} = (0,1,-3) \times (1,0,1) = (1,-3,1)\)
Rovnice roviny pak tedy bude
\(x - 3 y + z + d= 0\), kde \( d\) dostaneme dle bodu \( Q \) jako \( 0 - 3 + 2 + d = 0\), tedy d = 1
Druhý příklad analogicky - najdu dvě přímky v rovině, udělám vektorový součin jejich směrových vektorů, což bude normálový vektor roviny a dopočítám koeficient "d".