Definiční obor funkce a limita funkce

Ahoj,

limita v bodě, kde je funkce dobře definována, není zajímavá - odpovídá funkční hodnotě. Limity se obvykle počítají v bodech, kde dochází k nějakému problému.

Jelikož kvadratická funkce v místě kořenu mění znaménko, nebude nejspíš limita v těchto bodech definována - bude potřeba spočítat zvlášť limity zleva a zprava v každém bodě.

V bodě 2 je limita typu $\frac{ 6} { 0}$. Kvadratická funkce ve jmenovateli je před dvojkou kladná a za dvojkou záporná. Limita zleva tedy bude $+\infty$ a zprava $-\infty$.

V bodě 3 je limita typu $\frac{ 0} { 0}$. Můžeme řešit buď pomocí l'Hospitalova pravidla, ale tady jde jednoduše vytknout výraz $(x-3)$ a dostaneme zlomek $\frac{ x^2-5x} { x-2}$, kde po dosazení vyjde $\frac{ 9-15} { 1} = -6$

Ahoj,

tak ta limita v bodě 2 mi vyšla stejně, uf Moc díky a ten druhý příklad, prosíím

Díky

D

Druhý příklad je limita typu $\frac{ \infty} { \infty}$. Takovou můžeme opět řešit pomocí l'Hospitalova pravidla, ale opět není složité to udělat rigorózně:

$\lim_{ x \to \infty} \frac{ 7x^3-8x^2-2x} { -4x^4-7x^2+24x} = \lim_{ x \to \infty} \frac{ x^4\left(\frac{ 7} { x} -\frac{ 8} { x^2} -\frac{ 2} { x^3} \right)} { x^4\left(-4 - \frac{ 7} { x^2} +\frac{ 24} { x^3} \right)} = \lim_{ x \to \infty} \frac{ \frac{ 7} { x} -\frac{ 8} { x^2} -\frac{ 2} { x^3} \to 0} { -4 - \frac{ 7} { x^2} +\frac{ 24} { x^3} \to -4} = 0$

Moc děkuji mrknu na to I’Hospitalovo pravidlo.

Krásný den.

D

l'Hospitalovo pravidlo je taková berlička, když se to člověku nechce dělat složitě. Vztahuje se na limity typu $\frac{ 0} { 0}$ a $\frac{ \infty} { \infty}$ a říká:

Pokud se jedná o limitu tohoto typu a výsledek bude dávat smysl, lze limitu podílu spočítat jako limitu podílu derivací. Vzorcem

Pokud $f(a) = 0$ a $g(a) = 0$, nebo $f(a) = \pm\infty$ a $g(a) = \pm\infty$, pak

$\lim_{ x \to a} \frac{ f(x)} { g(x)} = \lim_{ x \to a} \frac{ f'(x)} { g'(x)}$

Toto pravidlo lze aplikovat opakovaně, dokud se nevymaníme z problému.

Může to hýžďový tedy takto, viz příloha, příklad 1

Pokračování...díky