Limita funkce LHospitalovo pravidlo

Dobrý den, mohl by mi prosím někdo pomoci s následujícími limitami?

viz. soubor. Vím, že by se to mělo řešit pomocí LHospitalova pravidla a dokážu to na ty neurčité výrazy převést, ale pak dělám nějakou chybu při derivování. Pro info: jedná se o příklady z DFJP v Pardubicích.

Příloha k dotazu

Obtížnost: Vysoká škola
Kategorie: Limita funkce
Helena O.

Helena O.

04. 01. 2024   10:03

11 odpovědí

Helena O.
Helena O.
04.01.2024 10:16:51

Vkládám jak jsem to řešila... ale nevychází to :( výsledek má být u obou příkladů 1

Příloha ke komentáři
MILAN K.
MILAN K.
04.01.2024 17:15:32

Máte to bez L´Hospitalova pravidla, stačí uvážit tyto limity, sin x se blíží k x, když x se blíží k nule a dále 0 na 0 = 1, což je ( lim x na x, když x se blíží k nule ) = 1 . Vyjde tedy celá limita = 1

Příloha ke komentáři
MILAN K.
MILAN K.
04.01.2024 18:07:56

U toho prvního, to vede vlastně na výraz ( e na ln ( 0 na 0 ) ) a to je ( 0 na 0 ) = 1

Příloha ke komentáři
Helena O.
Helena O.
04.01.2024 18:16:09

Dobrý den, děkuji za řešení. Pomocí LHospitalova pravidla jsem se totiž u toho druhého příkladu dostávala stále k derivaci sinu a kosinu a nebyl tomu konec... Ten druhý příklad řeším správně? Resp. nevím, jak dál... Děkuji moc

MILAN K.
MILAN K.
04.01.2024 18:43:56

Tak e na ( ln x ) * ln (1+x ) ) je vlastně výraz e na ( A*B ) , kde A = ln x, B = ln ( 1 + x ) a to po úpravě určitě není jen A / B . Toho e se nejde tak zbavit, bude to ( ( e na A ) ) na B nebo i obráceně ( e na B ) na A, tedy zde ( e ln x ) na ln (1+x)

Asi jako byste napsala 8 = e na ln 8, tak e se neztratí

Helena O.
Helena O.
04.01.2024 19:22:27

e se neztratilo. Řešila jsem to jako pan docent na přednášce, podle vzorového příkladu, který přikládám. Řeší to, co má u e jako samostatnou limitu a v příkladu, který přikládám se pak při výsledku nula vrátí k tomu e a e na nultou mu vyjde jedna. Snažila jsem se postupovat stejným způsobem, tedy převést to na neurčitý výraz řešitelný LHospitalovým pravidlem. Ale nula mi tam nevychází...

Příloha ke komentáři
MILAN K.
MILAN K.
04.01.2024 19:24:32

Asi úplně nejefektivnější je tato úvaha lim. x jde k 0 ( 1 + x ) na (1/ x je číslo e. Pak ln x = x * 1 / x * ln x a celé to rozepsat viz níže a vyjde Vám přehledně X na X když x jde k 0 = 1

Příloha ke komentáři
Helena O.
Helena O.
04.01.2024 19:26:48

Tady je také zřejmé, že nula na nultou nebere jako jedna, ale neurčitý výraz, který dále převádí na nula lomeno nulou nebo nekonečno lomeno nekonečnem stejným způsobem jako pak u druhého příkladu já - převede to na zlomky a řeší právě LHospitalovým pravidlem.

Helena O.
Helena O.
04.01.2024 20:00:10

Dobrý večer, úpravy jsem už pochopila... x na x jsem si vyřešila pomocí LHospitalova pravidla tedy jako lnx lomeno (1/x) a pak to opravdu vede k e na nultou, což je jedna. Obávám se, že x na x rovnou jako jedna rovnou mi nebude uznáno, ale takto to umím "dokázat" v souladu s postupem, který je nastíněn výše. Moc děkuji za vyřešení.

Rudolf H.
Rudolf H.
04.01.2024 23:32:52

(1+x)lnx=eln(1+x)ln(x)

Zajímá nás tedy limita

ln(1+x)ln(x) v nule, ale to lze přepsat jako

ln(1+x)xxln(x)

Limita prvního činitele je 1, neboť je to známá limita, ořípadně lze ukázat l'Hospitalem.

Limita druhého činitele je 0, opět známá limita, případně l'hospital na x1/ln(x)

Z limity součinu je tedy limita mocnitele nula, tj příklad vyjde e⁰=1.

Helena O.
Helena O.
06.01.2024 00:11:29

Děkuji moc, už je mi to jasné.

Pro napsání komentáře se musíte přihlásit.