Domácí úkol kombinatorika a pravděpodobnost
Dobrý den, potřebovala bych pomoci s příklady do domácího úkolu. Nevím si s tím vůbec rady. Pokud by se našel někdo, kdo by mi s tím pomohl, byla bych moc rada ️
Předem děkuji.
- Máme k dispozici cifry 1; 2; 3; 4; 5; 7. Máme z nich vytvořit trojciferná čísla s různými ciframi.
Kolik je takových trojciferných čísel?
-
Na konferenci má vystoupit 5 odborníku z různých zemí, každý s právě jedním příspěvkem. Naším úkolem je sestavit program konference. Jaká je pravděpodobnost, že sestavíme program, kde Konferenci zahájí odborník z Belgie?
-
Naším úkolem je sestavit šestihodinový rozvrh na 1 den. K dispozici máme 12 předmětů, každý může být v daný den nejvýše 1 hodinu. Jaká je pravděpodobnost, že MAT je hned 1. hodinu?
-
Z daného slova „BAHNO“ tvoříme přesmyčky (prohazujeme jednotlivá písmena). Jaká je pravděpodobnost, že Přesmyčka začíná samohláskou?
-
Ve třídě je 10 kluků a 12 dívek. Mezi nimi právě jeden Ota a jedna Eva. Do vypsané soutěže máme sestavit tříčlenné družstvo. Jaká je pravděpodobnost, že:
a) V družstvu bude samé dívky sestavit?
b) V družstvu bude Ota?
c) V družstvu budou Ota i Eva současně?
Viktorie W.
31. 01. 2021 20:20
1 odpověď
Přeji pěkný večer, Viktorie,
- úloha:
Označme jako \(V(k, n) = \frac{ n!} { (n-k)!} \) \(k\)členné variace bez opakování, kde \(n \geq k \wedge k \geq 0\).
Máme k dispozici \(6\) cifer a tvoříme trojciferná čísla, tedy skupiny, kde každá cifra má své jedinečné pořadí.
Platí: \(V(3, 6) = \frac{ 6!} { 3!} = 120\).
- úloha
Základová množina \(\Omega\) je množina všech možných programů konference. Jelikož pouze volíme pořadí všech pěti řečníků, pak použijeme permutace.
Platí: \(|\Omega| = 5! = 120\)
Množinu všech výsledků, kdy bude vybrán jako první řečník z Belgie, označme \(A\). Stačí si uvědomit, že mohutnost množiny \(A\) bude takové číslo, kolik je permutací čtyř řečníků, jelikož jeden z nich má pevnou pozici.
Platí: \(|A| = 4! = 24\)
Platí: \(P = \frac{ |A|} { |\Omega|} = \frac{ 1} { 5} \)
Případně stačila krátká úvaha, že máme \(5\) řečníků a jeden z nich je nutně první, tedy Belgičan bude první s pravděpodobností \(\frac{ 1} { 5} \).
- úloha:
Základová množina \(\Omega\) je množina všech rozvrhů v daný den. Jelikož vybíráme \(6\) hodin v daném pořadí z \(12\), využijeme variace.
Platí: \(|\Omega| = V(6,12) = 665280\).
Jako \(A\) označme množinu všech rozvrhů, kde je obávaný předmět MAT na prvním místě. Jde o jeho pevnou pozici, tedy stačí určit zbytek rozvrhu. Vybíráme zbylých \(5\) hodin v jasném pořadí pro \(11\) zbylých předmětů.
Platí: \(|A| = V(5, 11) = 55440\).
Platí: \(P = \frac{ |A|} { |\Omega|} = \frac{ 55440} { 665280} = \frac{ 1} { 12} \).
Jak vidíte, opět stačila jednoduchá úvaha, že \(1\) z \(12\) předmětů prostě musel být první, tedy pravděpodobnost, že to bude právě MAT, je \(\frac{ 1} { 12} \).
- úloha:
Základovým prostorem \(\Omega\) je zde množina všech těchto přesmyček. Jak asi tušíte, i zde bude možné použít onu magickou úvahu, kterou jsem naznači dříve, ale zkusíme to jinak.
Platí: \(|\Omega| = 5! = 120\), neboť i zde se jedná o permutace.
Jelikož chceme, aby prvním písmenem bylo O nebo A, pak množina \(A\) obsahuje všechny přesmyčky, které tento požadavek splňují. Jejich počet bude součet počtu přesmyček začínajících na A a těch začínajících na O. Opět půjde o permutace, protože jen jeden prvek má fixní pozici.
Platí: \(|A| = 2 \cdot 4! = 48\).
Platí: \(P = \frac{ 48} { 120} = \frac{ 2} { 5} \).
Je zřejmé, jak se na to dalo jít úvahou?
Zvládnete poslední příklad sama?