Domácí úkol kombinatorika a pravděpodobnost

Přeji pěkný večer, Viktorie,

1. úloha:

Označme jako $V(k, n) = \frac{ n!} { (n-k)!}$ $k$členné variace bez opakování, kde $n \geq k \wedge k \geq 0$.

Máme k dispozici $6$ cifer a tvoříme trojciferná čísla, tedy skupiny, kde každá cifra má své jedinečné pořadí.

Platí: $V(3, 6) = \frac{ 6!} { 3!} = 120$.

2. úloha

Základová množina $\Omega$ je množina všech možných programů konference. Jelikož pouze volíme pořadí všech pěti řečníků, pak použijeme permutace.

Platí: $|\Omega| = 5! = 120$

Množinu všech výsledků, kdy bude vybrán jako první řečník z Belgie, označme $A$. Stačí si uvědomit, že mohutnost množiny $A$ bude takové číslo, kolik je permutací čtyř řečníků, jelikož jeden z nich má pevnou pozici.

Platí: $|A| = 4! = 24$

Platí: $P = \frac{ |A|} { |\Omega|} = \frac{ 1} { 5}$

Případně stačila krátká úvaha, že máme $5$ řečníků a jeden z nich je nutně první, tedy Belgičan bude první s pravděpodobností $\frac{ 1} { 5}$.

3. úloha:

Základová množina $\Omega$ je množina všech rozvrhů v daný den. Jelikož vybíráme $6$ hodin v daném pořadí z $12$, využijeme variace.

Platí: $|\Omega| = V(6,12) = 665280$.

Jako $A$ označme množinu všech rozvrhů, kde je obávaný předmět MAT na prvním místě. Jde o jeho pevnou pozici, tedy stačí určit zbytek rozvrhu. Vybíráme zbylých $5$ hodin v jasném pořadí pro $11$ zbylých předmětů.

Platí: $|A| = V(5, 11) = 55440$.

Platí: $P = \frac{ |A|} { |\Omega|} = \frac{ 55440} { 665280} = \frac{ 1} { 12}$.

Jak vidíte, opět stačila jednoduchá úvaha, že $1$ z $12$ předmětů prostě musel být první, tedy pravděpodobnost, že to bude právě MAT, je $\frac{ 1} { 12}$.

4. úloha:

Základovým prostorem $\Omega$ je zde množina všech těchto přesmyček. Jak asi tušíte, i zde bude možné použít onu magickou úvahu, kterou jsem naznači dříve, ale zkusíme to jinak.

Platí: $|\Omega| = 5! = 120$, neboť i zde se jedná o permutace.

Jelikož chceme, aby prvním písmenem bylo O nebo A, pak množina $A$ obsahuje všechny přesmyčky, které tento požadavek splňují. Jejich počet bude součet počtu přesmyček začínajících na A a těch začínajících na O. Opět půjde o permutace, protože jen jeden prvek má fixní pozici.

Platí: $|A| = 2 \cdot 4! = 48$.

Platí: $P = \frac{ 48} { 120} = \frac{ 2} { 5}$.

Je zřejmé, jak se na to dalo jít úvahou?

Zvládnete poslední příklad sama?