Existuje více než spočetně nekonečno nespočetných mohutností?
Dobrý večer,
z Cantorovy věty podle mě plyne, že existuje alespoň spočetně nekonečno různých nespočetných mohutností (\(2^{ \mathbb{ N} } , 2^{ 2^{ \mathbb{ N} } } ,...\)). Hádám taky, že umíme transfinitní rekurzí konstruovat množiny s mohutností \(\aleph_1, \aleph_2, \aleph_3,...\), tj. různých kardinálních čísel \(\aleph_k\) pro \(k \in \mathbb{ N} \setminus \){ \(0\)} , tj. také spočetně nekonečno.
Nějak si ale už nejsem jistý, jestli různých nespočetných mohutností je více než alespoň spočetně nekonečno. Bylo by možné třeba pokračovat v transfinitní rekurzi a postupně vytvořit množiny s mohutností
\(\aleph_1, \aleph_2, \aleph_3,... \aleph_\omega, \aleph_{ \omega + 1} ,... \aleph_{ \omega \cdot 2} ,... \aleph_{ \omega^2} ,... \aleph_{ \omega^\omega} ,... \aleph_{ \omega_1} \)?
Případně jak jinak by se dalo ukázat nebo vyvrátit, že různých nekonečných mohutností je více než spočetně nekonečno?
Děkuji moc za odpověď.
Tomáš K.
30. 11. 2021 21:05
2 odpovědi
Oprava: Případně jak jinak by se dalo ukázat nebo vyvrátit, že různých nespočetných (nikoliv nekonečných) mohutností je více než spočetně nekonečno?
Ahoj Tome,
tohle je hodně divný dotaz a jsem si jistý, že kdyby sis dal práci a zamyslel se nad správně formulovanou otázkou, přišel bys na odpověď sám. Jmenovitě narážím na to, že slovo "nekonečno" sis vymyslel, protože v Teorii množin se použije nejvýš v úvodní motivaci, ale nic takového neexistuje.
Podle toho, co píšeš, nejspíš používáš kontrukci kardinálních čísel ve vztahu k ordinálním číslům (alespoň tenhle postup znám já). Takže využij toho, že každé kardinální číslo má vlastnosti ordinálního čísla a pokud položíš svůj dotaz korektně, měla by být odpověď poměrně jasná.
Nápověda: Co můžeš říct o množině všech ordinálních čísel?
Odpověď je jednoduchá a zdůvodnění aplikuj na svůj dotaz.