Množiny

Zdravím.

Vysvětlit postup bude asi náročné, protože u takovýchto příkladů není nějaký jednotný postup.

Když se na tu rovnici podívám, vidím dvě věci.

(a) \(x^2\), \(|x|\) jsou nezáporná čísla a \(1>0\) . Takže pokud bude \(a\) také nezáporné, bude součet \(x^2+a|x|+1>0\). Odtud mám okamžitě odpověď: ANO, každé nezáporné \(a\). Existují i záporná \(a\), pro která rovnice nebude mít řešení, ale to není důležité, na to se nikdo neptá.

(b) druhá věc, kterou vidím je, že funkce \(y=x^2+a|x|+1\) je sudá. Graf sudé funkce je symetrický podle osy \(y\), a to znamená, že kořeny naší rovnice musí být symetrické kolem nuly. Aby byl jeden kořen symetrický podle nuly, muselo by být \(x=0\). Jenže to kořen není, jak se snadno přesvědčíš zkouškou. Stejný argument paltí i pro 3 kořeny. Takže body (b) a (d) mají odpověď: NE

K bodu (c). Nejjednodušší mi připadá takovou hodnotu najít. Když si vzpomeneš na vzoreček \((a-1)^2=a^2-2a+1\), tak vidíš, že pro \(a=-2\) dostáváš \((|x|-1)^2=0\), a to je rovnice, která má 2 kořeny. odpověď: ANO

K bodu (e): Pro \(a<-2\) bude diskriminat rovnice \(|x|^2+a|x|+1=0\) kladný, a to znamená, že budu mít 4 kořeny. Takže odpověď: ANO.