Množiny

Zdravím.

Vysvětlit postup bude asi náročné, protože u takovýchto příkladů není nějaký jednotný postup.

Když se na tu rovnici podívám, vidím dvě věci.

(a) $x^2$, $|x|$ jsou nezáporná čísla a $1>0$ . Takže pokud bude $a$ také nezáporné, bude součet $x^2+a|x|+1>0$. Odtud mám okamžitě odpověď: ANO, každé nezáporné $a$. Existují i záporná $a$, pro která rovnice nebude mít řešení, ale to není důležité, na to se nikdo neptá.

(b) druhá věc, kterou vidím je, že funkce $y=x^2+a|x|+1$ je sudá. Graf sudé funkce je symetrický podle osy $y$, a to znamená, že kořeny naší rovnice musí být symetrické kolem nuly. Aby byl jeden kořen symetrický podle nuly, muselo by být $x=0$. Jenže to kořen není, jak se snadno přesvědčíš zkouškou. Stejný argument paltí i pro 3 kořeny. Takže body (b) a (d) mají odpověď: NE

K bodu (c). Nejjednodušší mi připadá takovou hodnotu najít. Když si vzpomeneš na vzoreček $(a-1)^2=a^2-2a+1$, tak vidíš, že pro $a=-2$ dostáváš $(|x|-1)^2=0$, a to je rovnice, která má 2 kořeny. odpověď: ANO

K bodu (e): Pro $a<-2$ bude diskriminat rovnice $|x|^2+a|x|+1=0$ kladný, a to znamená, že budu mít 4 kořeny. Takže odpověď: ANO.