Horní mez posloupnosti
Dobrý den, v knize Přehled středoškolské matematiky od Josefa Poláka na straně 304 je u posloupnosti \((a_{ n} )_{ n=1} ^{ \infty} \)
, kde
\(a_{ n} =(1+\frac{ 1} { n} )^{ n} \) uvedeno, že je zdola omezená číslem 2 (tomu rozumím) a shora omezená číslem 3. Právě tomu omezení shora číslem 3 zde nerozumím. Proč není shora omezena svou limitou, tedy Eulerovým číslem?
Děkuji za reakce a případné vysvětlení.
Marek K.
06. 05. 2024 16:48
1 odpověď
Autor tam aplikuje predchozi vety o limitach posloupnosti, aby ukazal, ze
-
limita \((1+\frac{ 1} { n} )^n\) existuje
-
lze ji odhadnout pomoci dvou posloupnosti
Na strane 300 je V3: Je-li omezena posloupnost monotonni, pak konverguje.
V obecnejsim zneni ma tahle veta dve casti:
-
Kazda neklesajici a shora omezena posloupnost ma vlastni limitu.
-
Kazda nerostouci a zdola omezena posloupnost ma vlastni limitu.
Pomoci binomicke vety se da snadno ukazat, ze 2 < \((1+\frac{ 1} { n} )^n\) < 3 pro kazde prirozene \(n>0\).
A protoze nevis, co je to \(e\), ani jestli existuje, smichas cely recept dohromady:
-
\((1+\frac{ 1} { n} )^n\) je roustouci a mensi nez 3, tedy konverguje
-
\((1+\frac{ 1} { n} )^{ n+1} \) je klesajici a vetsi nez 2, tedy konverguje
-
obe konverguji ke stejne hodnote
Cislo \(e\) tedy existuje a je sevrene obema posloupnostma, coz umoznuje spocitat odhad.
U posloupnosti je tenhle postup bezny:
-
dokazes zakladni vlastnosti posloupnosti, napr. monotonnost
-
pak dokazes, ze je omezena, abys ziskal zakladni odhad, napr. 2 < e < 3
-
pak zkusis nejak spocitat samotnou limitu