Horní mez posloupnosti

Autor tam aplikuje predchozi vety o limitach posloupnosti, aby ukazal, ze

• limita $(1+\frac{ 1} { n} )^n$ existuje

• lze ji odhadnout pomoci dvou posloupnosti

Na strane 300 je V3: Je-li omezena posloupnost monotonni, pak konverguje.

V obecnejsim zneni ma tahle veta dve casti:

• Kazda neklesajici a shora omezena posloupnost ma vlastni limitu.

• Kazda nerostouci a zdola omezena posloupnost ma vlastni limitu.

Pomoci binomicke vety se da snadno ukazat, ze 2 < $(1+\frac{ 1} { n} )^n$ < 3 pro kazde prirozene $n>0$.

A protoze nevis, co je to $e$, ani jestli existuje, smichas cely recept dohromady:

• $(1+\frac{ 1} { n} )^n$ je roustouci a mensi nez 3, tedy konverguje

• $(1+\frac{ 1} { n} )^{ n+1}$ je klesajici a vetsi nez 2, tedy konverguje

• obe konverguji ke stejne hodnote

Cislo $e$ tedy existuje a je sevrene obema posloupnostma, coz umoznuje spocitat odhad.

U posloupnosti je tenhle postup bezny:

• dokazes zakladni vlastnosti posloupnosti, napr. monotonnost

• pak dokazes, ze je omezena, abys ziskal zakladni odhad, napr. 2 < e < 3

• pak zkusis nejak spocitat samotnou limitu