Posloupnost pro n-tý člen, která nejde převést na rekurentní definici

Např.

a (i) = i ! , i je od 1 do nějakého n

Tedy a1= 1! = a1

a2 = 2! = a2 * a1

a3 = 3! = a3 * a2 * a1

a4 = 4! = a4 * a3 * a2 *a1

...

...

an = n! = an * ( an - 1 ) * ( an - 2 ) * ( an - 3 ) ... .. a2 * a1

Rekurentně pomocí pevně daného počtu členů to nejde, jelikož se do toho výrazu pro faktoriál zatahují vždy nové členy s každým dalším indexem

Sice by se to dalo "jako" zapsat a ( n +1) = (n+1) * a (n) , nebo místo toho

a ( n+1 ) = ( n +1 ) * n ! ale je otázka, zda to tak může být

VOJTA:

Co třeba: $a(n)=n^{ n-2}$ ?

Tato posloupnost je zde:

https://oeis.org/search?q=1%2C1%2C3%2C16%2C125…

rekurentní vzorec tam nevidím - jestli se dobře dívám :-)

MILAN:

Myslím, že to jde, posloupnost faktoriálů lze zapsat oběma způsoby:

$a(n) = n!$

nebo

$a(1) = 1, a(n+1) = (n+1)\cdot a(n)$

To je dost zvláštní úloha. Samozřejmé záleží, co přesně zde znamená "rekurentní definice", ale v té klasické lze vzorec pro n-tý člen vždy převést na rekurentní vztah, a to sice jako

$a_{ n+1} = a_{ n+1} – a_n + a_n$, nebo (pro nenulové členy) i $a_{ n+1} = \dfrac{ a_{ n+1} } { a_n} a_n$. Pro ten případ od Miroslava by to vyšlo např. $a_{ n+1} = \dfrac{ (n+1)^{ n-1} } { n^{ n-2} } a_n$. Samozřejmě takovéto rekuretní vztahy by neměly žádný praktický smysl, protože při výpočtu $a_{ n+1}$ by člověk neměl fakticky využít hodnoty $a_{ n+1}$; ale čistě matematicky jsme ten rekuretní vzorec našli, podobně jako pro ten faktoriál $a_{ n+1} = n\cdot a_n$.

Jinými slovy, muselo by se přesně matematicky specifikovat, co to znamená "rekurentní definice". Jinak dle mého nemá cenu nic dokazovat.

Uvažujme posloupnost $p_n$, kde $p_n$ je n-té prvočíslo. Začíná takto: 2, 3, 5, 7, 11, 13, ... což je začátek posloupnosti prvočísel.

Pro tuto posloupnost neznáme jednoduchý rekurentní vztah typu $p_{ n+1} = něco \cdot p_{ n} + něco \cdot p_{ n-1} + ...$ .

Nemáme známý polynomiální, lineární ani jednoduchý rekurentní vzorec, který by prvočísla generoval. Přitom lze prvočísla považovat za posloupnost.

Důvodem proč nelze vytvořit jejich rekurentní vzorec je jejich nepravidelný a dodnes z velké části nevysvětlený rozptyl. Jakkoli lze prvočísla zkoumat pomocí řady složitých algoritmů, jednoduchý rekurentní vztah není znám a z hlediska současného matematického poznání se nedá snadno vytvořit.