Posloupnost pro n-tý člen, která nejde převést na rekurentní definici
Dostal jsem zadání udělat video do matematického semináře, kde bude:
Vytvořte přípravu, v níž ukážete, jak můžeme vzorec pro n-tý člen posloupnosti převést na rekurentně zadanou posloupnost. Součástí přípravy bude:
- postup, jak z posloupnosti zadané vzorcem pro n-tý člen vytvořit rekurentně zadanou posloupnost
- ukázka posloupnosti zadané vzorcem pro n-tý člen a nalezení rekurentní definice stejné posloupnosti
- ukázka dvou konkrétních posloupností, jejichž vzorec pro n-tý člen nelze převést na rekurentní definici
Se 3. bodem si ale nevím rady, nepodařilo se mi najít, že by u nějaké posloupnosti nešel její vzorec pro n-tý člen převést na rekurentní vzorec... Prosím tedy o pomoc s tím: Jaké 2 takové posloupnosti existují a proč nejdou převést na rekurentní definici?
Díky moc za pomoc!
Vojtěch T.
30. 11. 2024 10:52
5 odpovědí
Např.
a (i) = i ! , i je od 1 do nějakého n
Tedy a1= 1! = a1
a2 = 2! = a2 * a1
a3 = 3! = a3 * a2 * a1
a4 = 4! = a4 * a3 * a2 *a1
...
...
an = n! = an * ( an - 1 ) * ( an - 2 ) * ( an - 3 ) ... .. a2 * a1
Rekurentně pomocí pevně daného počtu členů to nejde, jelikož se do toho výrazu pro faktoriál zatahují vždy nové členy s každým dalším indexem
Sice by se to dalo "jako" zapsat a ( n +1) = (n+1) * a (n) , nebo místo toho
a ( n+1 ) = ( n +1 ) * n ! ale je otázka, zda to tak může být
VOJTA:
Co třeba: \( a(n)=n^{ n-2} \) ?
Tato posloupnost je zde:
https://oeis.org/search?q=1%2C1%2C3%2C16%2C125…
rekurentní vzorec tam nevidím - jestli se dobře dívám :-)
MILAN:
Myslím, že to jde, posloupnost faktoriálů lze zapsat oběma způsoby:
\(a(n) = n!\)
nebo
\(a(1) = 1, a(n+1) = (n+1)\cdot a(n)\)
To je dost zvláštní úloha. Samozřejmé záleží, co přesně zde znamená "rekurentní definice", ale v té klasické lze vzorec pro n-tý člen vždy převést na rekurentní vztah, a to sice jako
\( a_{ n+1} = a_{ n+1} – a_n + a_n \), nebo (pro nenulové členy) i \( a_{ n+1} = \dfrac{ a_{ n+1} } { a_n} a_n \). Pro ten případ od Miroslava by to vyšlo např. \( a_{ n+1} = \dfrac{ (n+1)^{ n-1} } { n^{ n-2} } a_n \). Samozřejmě takovéto rekuretní vztahy by neměly žádný praktický smysl, protože při výpočtu \( a_{ n+1} \) by člověk neměl fakticky využít hodnoty \( a_{ n+1} \); ale čistě matematicky jsme ten rekuretní vzorec našli, podobně jako pro ten faktoriál \(a_{ n+1} = n\cdot a_n \).
Jinými slovy, muselo by se přesně matematicky specifikovat, co to znamená "rekurentní definice". Jinak dle mého nemá cenu nic dokazovat.
Uvažujme posloupnost \(p_n\), kde \(p_n\) je n-té prvočíslo. Začíná takto: 2, 3, 5, 7, 11, 13, ... což je začátek posloupnosti prvočísel.
Pro tuto posloupnost neznáme jednoduchý rekurentní vztah typu \(p_{ n+1} = něco \cdot p_{ n} + něco \cdot p_{ n-1} + ... \) .
Nemáme známý polynomiální, lineární ani jednoduchý rekurentní vzorec, který by prvočísla generoval. Přitom lze prvočísla považovat za posloupnost.
Důvodem proč nelze vytvořit jejich rekurentní vzorec je jejich nepravidelný a dodnes z velké části nevysvětlený rozptyl. Jakkoli lze prvočísla zkoumat pomocí řady složitých algoritmů, jednoduchý rekurentní vztah není znám a z hlediska současného matematického poznání se nedá snadno vytvořit.