Matematika+ jaro 2017 - příklad 12. posloupnost
Zdravím, prosím, vysvětlil by mi někdo ochotný, jak postupovat v následujícím příkladu? Na internetu nacházím jen základní vzorce a teorii pro posloupnost a nevím, jak si příklad odvodit. Předem děkuji:)
Aneta N.
24. 04. 2022 23:29
2 odpovědi
Zdravím.
To, co je v zadání popsané, je aritmetická posloupnost s diferencí d=1d=1. Proto platí
an=a1+1(n−1)an=a1+1(n−1) a a1+a2+⋯+an=Sn=n2(a1+an)a1+a2+⋯+an=Sn=n2(a1+an)
c) n2(a1+a1+n−1)=n ⇒ a1=3−n2n2(a1+a1+n−1)=n ⇒ a1=3−n2. Protože a1a1 je celé číslo, musí být nn liché číslo.
a) a1=3−152=−6a1=3−152=−6
b) −20=3−n2 ⇒ n=43−20=3−n2 ⇒ n=43
Ahoj,
jestli dobře chápu zadání, jedná se o aritmetickou posloupost s diferencí 1. Po sobě jdoucí celá čísla (takže diference +-1), první je nejmenší, takže postupně rostou (takže +1).
- Posloupnost má 15 členů a její součet je 15. Jelikož víme, že součet aritmetické posloupnosti dostanu jako aritmetický průměr prvního a posledního členu vynásobený počtem členů, máme:
15=a1+a152⋅15=2a1+14d2⋅1515=a1+a152⋅15=2a1+14d2⋅15
2=2a1+14⇒2a1=−12⇒a1=−62=2a1+14⇒2a1=−12⇒a1=−6
- Opět využijeme vzorec pro součet posloupnosti:
n=2a1+(n−1)d2⋅n=−40+(n−1)2⋅nn=2a1+(n−1)d2⋅n=−40+(n−1)2⋅n
2=−40+n−1⇒n=432=−40+n−1⇒n=43
- Viz vzorec v předchcozích částech:
n=n⋅2a1+n−12⇒2=2a1+n−1⇒a1=3−n2n=n⋅2a1+n−12⇒2=2a1+n−1⇒a1=3−n2
Jediným omezením nad rámec množiny přirozených čísel je, že se jedná o poslouponst celých čísel, tedy, že 3−n3−n je sudé, tedy nn je liché. Řešením tedy je množina {2k−1;k∈N}{2k−1;k∈N}