Matematika+ jaro 2017 - příklad 12. posloupnost

Zdravím, prosím, vysvětlil by mi někdo ochotný, jak postupovat v následujícím příkladu? Na internetu nacházím jen základní vzorce a teorii pro posloupnost a nevím, jak si příklad odvodit. Předem děkuji:)

Příloha k dotazu

Obtížnost: Střední škola
Kategorie: Posloupnosti
Aneta N.

Aneta N.

24. 04. 2022   23:29

2 odpovědi

Zeněk R.
Zeněk R.
25.04.2022 09:28:59

Zdravím.

To, co je v zadání popsané, je aritmetická posloupnost s diferencí d=1. Proto platí

an=a1+1(n1) a a1+a2++an=Sn=n2(a1+an)

c) n2(a1+a1+n1)=n  a1=3n2. Protože a1 je celé číslo, musí být n liché číslo.

a) a1=3152=6

b) 20=3n2  n=43

Jan Z.
Jan Z.
25.04.2022 09:36:07

Ahoj,

jestli dobře chápu zadání, jedná se o aritmetickou posloupost s diferencí 1. Po sobě jdoucí celá čísla (takže diference +-1), první je nejmenší, takže postupně rostou (takže +1).

  1. Posloupnost má 15 členů a její součet je 15. Jelikož víme, že součet aritmetické posloupnosti dostanu jako aritmetický průměr prvního a posledního členu vynásobený počtem členů, máme:

15=a1+a15215=2a1+14d215

2=2a1+142a1=12a1=6

  1. Opět využijeme vzorec pro součet posloupnosti:

n=2a1+(n1)d2n=40+(n1)2n

2=40+n1n=43

  1. Viz vzorec v předchcozích částech:

n=n2a1+n122=2a1+n1a1=3n2

Jediným omezením nad rámec množiny přirozených čísel je, že se jedná o poslouponst celých čísel, tedy, že 3n je sudé, tedy n je liché. Řešením tedy je množina {2k1;kN}

Pro napsání komentáře se musíte přihlásit.