Matematika+ jaro 2017 - příklad 12. posloupnost

Zdravím.

To, co je v zadání popsané, je aritmetická posloupnost s diferencí \(d=1\). Proto platí

\(a_n=a_1+1(n-1)\) a \(a_1+a_2+\cdots+a_n=S_n=\frac n2(a_1+a_n)\)

c) \(\frac n2(a_1+a_1+n-1)=n\ \Rightarrow\ a_1=\frac{ 3-n} 2\). Protože \(a_1\) je celé číslo, musí být \(n\) liché číslo.

a) \(a_1=\frac{ 3-15} 2=-6\)

b) \(-20=\frac{ 3-n} 2\ \Rightarrow\ n=43\)

Ahoj,

jestli dobře chápu zadání, jedná se o aritmetickou posloupost s diferencí 1. Po sobě jdoucí celá čísla (takže diference +-1), první je nejmenší, takže postupně rostou (takže +1).

1. Posloupnost má 15 členů a její součet je 15. Jelikož víme, že součet aritmetické posloupnosti dostanu jako aritmetický průměr prvního a posledního členu vynásobený počtem členů, máme:

\(15 = \frac{ a_1 + a_15} { 2} \cdot 15 = \frac{ 2a_1 + 14d} { 2} \cdot 15\)

\(2 = 2a_1 + 14 \Rightarrow 2a_1 = -12 \Rightarrow a_1 = -6\)

2. Opět využijeme vzorec pro součet posloupnosti:

\(n = \frac{ 2a_1+(n-1)d} { 2} \cdot n = \frac{ -40 + (n-1)} { 2} \cdot n\)

\(2 = -40 + n - 1 \Rightarrow n = 43\)

3. Viz vzorec v předchcozích částech:

\(n = n\cdot\frac{ 2a_1+n-1} { 2} \Rightarrow 2 = 2a_1 + n - 1 \Rightarrow a_1 = \frac{ 3-n} { 2} \)

Jediným omezením nad rámec množiny přirozených čísel je, že se jedná o poslouponst celých čísel, tedy, že \(3-n\) je sudé, tedy \(n\) je liché. Řešením tedy je množina \(\left\lbrace2k-1; k\in N\right\rbrace\)