Kombinatorická úloha

Přeji pěkný večer, Dominiku,

musíme si nejprve uvědomit, jak je vůbec možné rozdělit množinu { $1, 2, 3, 4, 5, 6$} na tři po dvojicích disjunktní podmnožiny se dvěma prvky tak, aby součet všech prvků v každé z těchto množin byl stejný.

Například číslo $1$ může jít do dvojice pouze s číslem $6$, neboť pokud by bylo ve dvojici s jiným číslem, součet takových dvou čísel by byl maximálně $6$, tedy už bychom nenašli nikoho do páru k šestce, aby podmínka zůstala splněna. Podobným způsobem dojdeme k rozkladu { { $1, 6$} , { $2, 5$} , { $3, 4$} } , přičemž jiné řešení není možné.

Nyní chceme sestrojit nějaké šesticiferné číslo splňující zadané podmínky. První dvě pozice musí obsadit obě čísla z množiny { $1, 6$} , { $2, 5$} nebo { $3, 4$} . Máme tedy $3 \cdot 2$ možností, jak to provést, protože máme na výběr tři množiny a v případě každé z nich poté záleží na pořadí jednotlivých čísel.

Poté nám zbydou dvě množiny pro obsazení třetí a čtvrté pozice, což je $2 \cdot 2$ možností a pro obsazení páté a šesté pozice je to $1 \cdot 2$ možností.

Výsledkem je tedy $3! \cdot 2^3 = 48$ možností.