Kombinatorická úloha

Přeji pěkný večer, Dominiku,

musíme si nejprve uvědomit, jak je vůbec možné rozdělit množinu { \(1, 2, 3, 4, 5, 6\)} na tři po dvojicích disjunktní podmnožiny se dvěma prvky tak, aby součet všech prvků v každé z těchto množin byl stejný.

Například číslo \(1\) může jít do dvojice pouze s číslem \(6\), neboť pokud by bylo ve dvojici s jiným číslem, součet takových dvou čísel by byl maximálně \(6\), tedy už bychom nenašli nikoho do páru k šestce, aby podmínka zůstala splněna. Podobným způsobem dojdeme k rozkladu { { \(1, 6\)} , { \(2, 5\)} , { \(3, 4\)} } , přičemž jiné řešení není možné.

Nyní chceme sestrojit nějaké šesticiferné číslo splňující zadané podmínky. První dvě pozice musí obsadit obě čísla z množiny { \(1, 6\)} , { \(2, 5\)} nebo { \(3, 4\)} . Máme tedy \(3 \cdot 2\) možností, jak to provést, protože máme na výběr tři množiny a v případě každé z nich poté záleží na pořadí jednotlivých čísel.

Poté nám zbydou dvě množiny pro obsazení třetí a čtvrté pozice, což je \(2 \cdot 2\) možností a pro obsazení páté a šesté pozice je to \(1 \cdot 2\) možností.

Výsledkem je tedy \(3! \cdot 2^3 = 48\) možností.