Kombinatorické rovnice

Přeji pěkné odpoledne, Romane!

U kombinatorických rovnic je velmi důležité nejprve stanovit podmínky řešitelnosti, na to nikdy nesmíme zapomenout.

Máme-li kombinační číslo

${ n} \choose{ k}$

pak určitě musí platit následující podmínky:

$n \geq k \wedge k \geq 0 \wedge n, k \in \mathbb{ N} .$

Potom můžeme využít toho, že kombinační číslo je definované následovně:

${ { n} \choose{ k} } = \frac{ n!} { k! \cdot (n-k)!} .$

Musíme také využít té vlastnosti, že $0! = 1$ a pro každé $n \in \mathbb{ N} \ \setminus$ { $0$} platí, že $n! = n \cdot (n - 1)!$

Pak lze první rovnici řešit následovně:

${ { x} \choose{ 2} } + { { x-1} \choose{ 2} } = 16$

Podmínky:

$x \geq 2 \wedge x-1 \geq 2 \Leftrightarrow x \geq 3$

Řešení rovnice:

$\frac{ x!} { 2! \cdot (x - 2)!} + \frac{ (x-1)!} { 2! \cdot (x-3)!} = 16$

Úprava dle výše zmíněného rekurentního vztahu:

$\frac{ x \cdot (x - 1)} { 2} + \frac{ (x-1) \cdot (x-2)} { 2} = 16$

Roznásobme:

$x \cdot (x - 1) + (x-1) \cdot (x-2) = 32$

$x^2 - x + x^2 - 3 \cdot x + 2 = 32$

$x^2 - 2 \cdot x - 15 = 0$

Předpokládám, že nyní už velmi dobře víte, jak postupovat dál ke zjištění $x$! Jen pamatujte na to, že zjištěné kořeny kvadratické rovnice musíte nutně porovnat se zavedenými podmínkami! Hádám rovněž, že i s druhou rovnicí si nyní hravě poradíte.