Kombinatorické rovnice

Přeji pěkné odpoledne, Romane!

U kombinatorických rovnic je velmi důležité nejprve stanovit podmínky řešitelnosti, na to nikdy nesmíme zapomenout.

Máme-li kombinační číslo

\({ n} \choose{ k} \)

pak určitě musí platit následující podmínky:

\(n \geq k \wedge k \geq 0 \wedge n, k \in \mathbb{ N} .\)

Potom můžeme využít toho, že kombinační číslo je definované následovně:

\({ { n} \choose{ k} } = \frac{ n!} { k! \cdot (n-k)!} .\)

Musíme také využít té vlastnosti, že \(0! = 1\) a pro každé \(n \in \mathbb{ N} \ \setminus \) { \(0\)} platí, že \(n! = n \cdot (n - 1)!\)

Pak lze první rovnici řešit následovně:

\({ { x} \choose{ 2} } + { { x-1} \choose{ 2} } = 16\)

Podmínky:

\(x \geq 2 \wedge x-1 \geq 2 \Leftrightarrow x \geq 3\)

Řešení rovnice:

\(\frac{ x!} { 2! \cdot (x - 2)!} + \frac{ (x-1)!} { 2! \cdot (x-3)!} = 16\)

Úprava dle výše zmíněného rekurentního vztahu:

\(\frac{ x \cdot (x - 1)} { 2} + \frac{ (x-1) \cdot (x-2)} { 2} = 16\)

Roznásobme:

\(x \cdot (x - 1) + (x-1) \cdot (x-2) = 32\)

\(x^2 - x + x^2 - 3 \cdot x + 2 = 32\)

\(x^2 - 2 \cdot x - 15 = 0\)

Předpokládám, že nyní už velmi dobře víte, jak postupovat dál ke zjištění \(x\)! Jen pamatujte na to, že zjištěné kořeny kvadratické rovnice musíte nutně porovnat se zavedenými podmínkami! Hádám rovněž, že i s druhou rovnicí si nyní hravě poradíte.