Kombinatorika

Ahoj,

vlastně ti zadávají rovnici s kombinačními čísly:

\(\frac{ N!} { 3!(N-3)!} - \frac{ (N-1)!} { 3!(N-4)!} = 36\)

tedy počet trojic vybraných z původního souboru a odečtu počet trojic vybraných ze souboru o jeden prvek menšího.

\(N(N-1)(N-2) - (N-1)(N-2)(N-3) = 36\cdot 3!\)

\(3(N-1)(N-2) = 36\cdot 3!\)

\(N^2 - 3N - 70 = 0\)

\((N-10)(N+7) = 0\)

\(N=10\) (výsledek \(N=-7\) nedává smysl)

Jenže může být ale také zobecněný výraz :

Nechť x je reálné číslo, k přirozené číslo. Tedy definujeme následně kombinatorické číslo vztahem :

( x nad k ), kde x je reálné číslo, tedy i záporné a k je číslo celé kladné takto : x * ( x - k + 1 ) * ( x - k + 2 ) * ..... ( x - 1 ) * x / k! . Takže například

( - 0.5 nad 4 ) = ( -7 / 2 ) * ( - 5 / 2 ) * ( - 3 / 2 ) * ( - 1 / 2 ) / ( 1 * 2 * 3 * 4 ) = 7 !! / ( 2 ^ 4 * 4! ) = 7 * 5 * 3 * 1 / ( 16 * 4 * 3 * 2 * 1 ) = ( 7 * 5 ) / ( 16 * 4 * 2) = 35 / 128 .

Takže to samé jde i pro ( x = - 7 nad 3 ) , dostaneme pro kontrolu po dosazení ( - 7 * - 8 * - 9 ) - ( - 8 * - 9 * - 10 ) = 216, což dá na levé straně - 504 - ( - 720 ) = 216 , tedy - 504 + 720 = 216 , což je také na pravé straně. Takže výsledek N = - 7 ve zobecněném kombinatorickém čísle smysl dává . Místo N = - 7 zapíšeme x = - 7, čímž je to zobecněné.

Takže smysl to dává i pro záporná čísla. !! je dvojný faktoriál (protože pro ty záporné poloviny to skákalo o dvě jednotky v čitateli ) .