Kombinatorika
Určete počet všech pěticiferných přirozených čísel, v jejichž dekadickém zápisu se každá z deseti číslic (radši je připomenu - 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) vyskytuje nejvýše jednou. Kolik z nich je menších než 50 000?
Roman B.
07. 03. 2021 21:06
2 odpovědi
Zdravím, je to pořád stejné.
Pěticiferných čísel je \(9\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6\), když čísla, která násobíme, představují možnosti na jednotlivých pozicích (od leva)
Aby číslo bylo menší než 50 000, musí začínat číslicemi 1,2,3,4.
Takže \(4\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6\)
Na prvním místě může být kterákoli číslice 1 až 9 (těch je 9), protože přirozené číslo nemůže začínat nulou. Na druhém místě (zleva) může být číslice 0 až 9 (to by bylo 10 možností), ale protože se každá číslice může vyskytovat jen 1x, je jich pouze 9 (= 10 - 1). Podobně na třetím místě jich může být už jen 8 atd.
Ke každé počáteční číslici 1 až 9 tedy můžeme přidat 9 číslic na druhé pozici, proto násobíme 9 x 9, ke každé z těchto možností můžeme přidat 8 číslic na třetí pozici, proto násobíme (9 x 9) x 8 atd.
Má-li být číslo menší než 50 000, může začínat číslicemi 1, 2, 3 nebo 4 (to jsou 4 možnosti). Ostatní zůstává stejné jako v předchozí úvaze.
Pro jednoduchost si to můžeš zkusit s dvojciferným číslem (to bude okolo 90 možností :), pak s trojciferným - dál je to podobné.