Kombinatorika - ověření postupu
Ahoj, mám tento příklad.
Máme skupinu 7 žen a 5 mužů. Z nich vytváříme posloupnosti délky čtyři. Jaká je pravděpodobnost, že na prvním a třetím místě je žena?
Pozn. Záleží na pořadí. Například ze čtyř žen lze vytvořit 4! posloupností.
Moje řešení:
Celkem je
\(12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9\) možností, jak vyrobit čtyřčlennou posloupnost.
Na první místo volíme jednu ze sedmi žen.
Na druhé místo volíme kohokoliv, tedy 11 možností.
Na třetím místě musíme rozlišit dvě možnosti:
a) Na 2. místě byla žena, pak na třetí místo můžeme vybrat z 5 žen.
b) Na 2. místě byl muž, pak na třetí místo můžeme vybrat z 6 žen.
Na čtvrté místo můžeme volit kohokoliv a není třeba, tedy 9 možností.
Našim podmínkám tedy vyhovuje
\(7 \cdot 11 \cdot 5 \cdot 9 + 7 \cdot 11 \cdot 6 \cdot 9 \) posloupností.
Hledaná pravděpodobnost je
\(
\frac{ 7 \cdot 11 \cdot 5 \cdot 9 + 7 \cdot 11 \cdot 6 \cdot 9} { 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9} = \frac{ 7 \cdot 11 \cdot 6 \cdot (5+6)} { 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9} = \frac{ 7 \cdot 11} { 12 \cdot 10} ,
\)
což je něco kolem 64 %. Je to správně? Díky.
David P.
04. 06. 2023 12:10
2 odpovědi
Nějak se rozbilo formátování. Poslední řádek je
\(
\frac{ 7 \cdot 11 \cdot 5 \cdot 9 + 7 \cdot 11 \cdot 6 \cdot 9} { 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9} = \frac{ 7 \cdot 11 \cdot 6 \cdot (5+6)} { 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9} = \frac{ 7 \cdot 11} { 12 \cdot 10} ,
\)
Čau Davide,
takhle to nefunguje, musíš sčítat disjunktní jevy, a když na druhém místě vybíráš "kohokoliv", vznikají na třetím místě dva výběry, které nejsou disjunktní.
Složitá verze, kterou zkoušíš: Na 2. a 4. místě může být výběr MM, MŽ, ŽM, ŽŽ, to jsou čtyři disjunktní jevy a dostaneš \( \frac{ 7.5.6.4+7.5.6.5+7.6.5.5+7.6.5.4} { 12.11.10.9} = \frac{ 7} { 22} \)
Jednoduchá verze: Pravděpodobnost, že na 1. a 3. místě budou ženy, je stejná jako pravděpodobnost, že na 1. a 2. místě budou ženy, zbylá dvě místa nemusíš řešit. \( \frac{ 7} { 12} \frac{ 6} { 11} = \frac{ 7} { 22} \)
To dává smysl, protože náhodný výběr má vlastnost, které říkáme "koherence". Když konstruuješ posloupnost, nezáleží na tom, jestli ji tvoříš zleva, zprava nebo najednou. Příště tenhle příklad počítej tak, že vybereš 1. a 3. místo a pak teprve 2. a 4. - vyjít to musí stejně.