Koza na kruhovém dvorku

Zdravím.

Délku provazu si označím $l$, poloměr dvorku $r$ a úhel $AKS=\varphi$ (obrázek).

Trojúhelník $AKS$ je rovnoramenný a ze sinové věty mám $\dfrac l{ \sin(\pi-2\varphi)} =\dfrac r{ \sin\varphi} \ \Rightarrow\ l=2r\cos\varphi$ (1).

Obsah růžové kruhové výseče je $S_1=\frac12\cdot(2\varphi)l^2=4\varphi r^2\cos^2\varphi$

Obsah jedné modré úseče je $\frac12r^2(\pi-2\varphi)-\frac12r^2\sin(2\varphi)$ (protože $\sin(\pi-2\varphi)=\sin(2\varphi)$ ). Tyto úseče jsou dvě, takže

$S_2=r^2(\pi-2\varphi-\sin(2\varphi))$

Podle zadání má platit $\frac12\pi r^2=S_1+S_2$, což nám dává rovnici

$\frac\pi2=4\varphi\cos^2\varphi+\pi-2\varphi-\sin(2\varphi)$

A nyní špatná zpráva: Tuto rovnic analyticky nejde řešit.

Pokud použiješ nějaký program na numerické řešení (použil jsem wolframalpha.com), dostaneš $\varphi\approx 0,95$ a z (1) pak $l\approx1,16r$

Děkuju...paráda