Kvadratická funkce a funkce s absolutní hordnotou

Ahoj Heleno,

obojí je pravda. U kvadratické funkce tam tu nulu můžeš přidat a například říct, že je klesající na uzavřeném intervalu \( (-\infty,0] \) a rostoucí na uzavřeném intervalu \( [0, \infty) \) a v případě \( f(x) = |x| \) zase pracovat s otevřenými intervaly.

Je trochu nešťastné z pedagogického hlediska, jestli to v knize míchají bez dobrého vysvětlení.

Obvykle máme preferenci pracovat s otevřenými intervaly, protože tím odpadají výjimečné případy, které bychom museli řešit v případě uzavřených intervalů. To už je ale učivo vysoké školy, takže bude stačit, když si budeš pamatovat, že je to vlastně jedno, platí oboje a s otevřenými intervaly je jednodušší život.

Dobrý den, moc děkuji za odpověď. Já na ZŠ učím a mám dosti zvídavého žáka, který opravdu prahne po vědění. A chci mu alespoň naznačit. Mohla bych dostat tedy odpověď na úrovni VŠ (asi už jsem to zapomněla, možná ani nikdy neslyšela). Ev nějaký odkaz, kde je relevantní odpověď. Našla jsem litrraturu, ale je nejnutnější ( včetně učebnic) a ani učitelé z VŠ na to nemají jednotný názor. Děkuji. Helena Vydrová

Jasně :))

Nejdřív si musíš uvědomit, že matematické definice odpovídají tomu, co se právě hodí při výkladu nebo studiu dané oblasti. Takže se klidně může stát, že si v reálné analýze definujete monotonnost na otevřeném intervalu, zatímco ve třeťáku na jiném předmětu pracujete s definicí monotonnosti na uzavřených intervalech. Stejně tak většina knih sice dodržuje zažité konvence, ale různí autoři si občas definují věci podle svého a pak musí být člověk hodně opatrný a pamatovat si dvě různé definice u dvou různých knih (už se mi párkrát stalo, že jsem nerozuměl důkazu jen proto, že autor volil nestandardní definice).

V reálné analýze má používání otevřených intervalů jednoduchý důvod a tím je hustota reálných čísel. Každý interval na reálných číslech má stejnou kardinalitu jako všechna reálná čísla, čili je v něm "dost" čísel, abychom v takovém intervalu mohli pohodlně pracovat.

To plyne z definice otevřeného intervalu: Interval \( O \subset \mathbb{ R} \) je otevřený, pokud \( \forall x \in O \) je jeho \( \epsilon \) okolí \( V_\epsilon(x) \) podmnožinou \( O \), \( V_\epsilon(x) \subset O \).

Intuitivně, když si vezmu libovolný bod otevřeného intervalu, má ve svém okolí stejně čísel, jako je všech reálných čísel. Pak například není problém pracovat s limitou nebo derivací funkce v libovolném bodě intervalu. U krajních bodů to ale neplatí, tam už si musíme dávat pozor, že část okolí chybí a pečlivě zkoumat všechny možnosti, co by se mohlo pokazit. A protože velká část reálné analýzy stojí právě na těchto tématech, dává smysl, že si zpočátku zjednodušíme život a definice postavíme na otevřených intervalech. Opravdu jen proto, aby to bylo jednodušší.

Ale dokonce i v matematice účel světí prostředky a obecná matematická pravda neexistuje.

Jestli má být interval monotonnosti otevřený nebo uzavřený, na tom na základní škole nezáleží, protože se tam neučí nic, kde bychom poznali rozdíl.

Na vysoké škole se v prváku vybere ta jednodušší cesta, otevřené intervaly. Pak se na jednu stranu ukáže, že uzavřené intervaly se chovají slušněji třeba v případě Riemannových integrálů. Na druhou stranu se ještě později ukáže, že spočetná podmnožina libovolného intervalu má nulovou míru a my můžeme říct, že něco platí s pravděpodobností jedna a krajní body vůbec nemusíme řešit.

Proto zopakuju, co jsem napsal už v první odpovědi na tuhle otázku, obojí je pravda.

Ještě dodám jeden příklad, proč jsou otevřené intervaly jednodušší na práci. Začnu definicí, kterou si zkomplikuju život.

Funkce f(x) je striktně rostoucí na intervalu \( I \), pokud \( \forall a,b \in I: a<b \Rightarrow f(a) < f(b) \)

Pokud je interval otevřený, vždy v něm najdu dva body, které můžu porovnat, žádné výjimky, není, co řešit.

Dál platí, že interval \( I \) je uzavřený, pokud obsahuje všechny své limitní body.

Singletonová množina { x} je tedy z definice uzavřený interval \( [x,x] \). Na takovém intervalu sice nedokážu najít dva různé body, aby platilo \( a < b \), ale podmínka definice striktně rostoucí funkce je pořád splněna.

To znamená, že mám funkci definovanou v jediném bodě a říkám, že je striktně rostoucí. To je nejen lehce matoucí, ale také hodně nepříjmné, protože nám chybí okolí, nelze použít limitu a musíme explicitně řešit výjimky.

Heleno zdravím.

Pokusím se dát odpověď na úrovni VŠ a přitom to moc nezkomplikovat.

Zásadní problém je, jak definuješ pojem rostoucí funkce. Základní definice je: "funkce \(f\) je rostoucí v intervalu \(I\subset D_f\) právě tehdy, když \(\forall x_1,x_2\in I\) platí \(x_1<x_2\ \Rightarrow\ f(x_1)<f(x_2)\)"

Podle této definice je funkce \(y=x^2\) rostoucí v intervalu \([0;\infty)\).

Jenže ověřovat monotónii funkce přímo podle uvedené definice je obecně problematické. Takže se do toho zamontují derivace.

Nadefinuje se pojem "funkce rostoucí v bodě" (všimni si, že je to vlastně definice něčeho jiného) a dokáží se věty

"Má-li funkce \(f\) v bodě \(x_0\) kladnou derivaci, pak je v tomto bodě rostoucí."

a

"Funkce \(f\) je rostoucí v intervalu \(I\) právě tehdy, když je rostoucí v každém bodě \(x\in I\)"

Jenže při tomto postupu ti vypadne u funkce \(y=x^2\) ten bod \(x=0\), protože v něm je derivace nulová.

Jen bych chtěl ještě upozornit, že ty dva přístupy nejsou v rozporu, protože když je fce rostoucí v intervalu \([0;\infty)\), tak je také rostoucí i v každém jeho "podintervalu".

Dobrý den, mnohokrát děkuji za odpověď a Váš čas. H. Vydrová