Lim pro x jde k nukle

Jedná se o limitu typu 0/0. V případě, že limita existuje, je možné toto řešit pomocí l'Hospitalova pravidla.

\(\lim_{ x\to 0} \frac{ \sin 4x} { 1-\sqrt{ x+1} } = \lim_{ x\to 0} \frac{ 4\cos 4x} { -\frac{ 1} { 2\sqrt{ x+1} } } = \frac{ 4} { -\frac{ 1} { 2} } = -8\)

Druhá možnost je to vzít bez tohoto pravidla:

\(\frac{ \sin 4x} { 1-\sqrt{ x+1} } = \frac{ \sin 4x \cdot (1+\sqrt{ x+1} )} { 1-(x+1)} = \frac{ \sin 4x} { 4x} \cdot \left( -4 \cdot (1+\sqrt(x+1)\right)\)

Jednou ze známých limit (dokazatelných například Taylorovou řadou je

\(\lim_{ x \to 0} \frac{ \sin x} { x} = 1\)

a platí, že, pokud jsou obě limity definované:

\( \lim f(x) \cdot g(x) = \lim f(x) \cdot \lim g(x)\)

Pro zadání tedy

\( = \lim_{ x \to 0} \frac{ \sin 4x} { 4x} \cdot \lim_{ x \to 0} (-4 \cdot (1+\sqrt{ x+1} )) = 1 \cdot (-4)\cdot (1+\sqrt{ 1} ) = -8 \)