Matematika
Dobrý den potřeboval bych prosím pomoci s domácí úkolem, absolutně analytickou matematiku nechápu. Děkuji.
Jsou dány body X = [ 2; 3] a Y = [-1; 1]. Určete jejich vzdálenost.
Určete neznámou souřadnici vektoru
y = (-3; y2) tak, aby jeho velikost byla 5.
a) Napište parametrické rovnice přímky procházející body: A = [-2; 3] a B = [ 3; 5].
b) Napište obecnou rovnici přímky, která je kolmá na přímku z příkladu 3a) a prochází bodem A
Napište souřadnice dalšího bodu, který leží na přímce z příkladu 3.
Určete směrový a normálový vektor přímky p: 2x - 3y + 2 = 0.
Určete vzdálenost bodu K = [-1; 3] od přímky k: 2x + 5y - 1 = 0
Určete odchylku přímek a a b
a: x = -2 + 3t b: x = 2s y = 2 - 2t t є R y = 1 + 3s s є R.
- Určete vzájemnou polohu přímek p a q. V případě, že jsou různoběžné, určete souřadnice jejich průsečíku.
p: 2x – 3y + 5 = 0, q: 2x + y + 1 = 0
David F.
16. 05. 2021 22:29
2 odpovědi
Ad 1)
Souřadnice bodů nám říkají jejich polohu vůči počátku ve vodorovném a svislém směru. Vzdálenost v daném směru spočítáme jako , pro analogicky. Tyto dvě vzdálenosti na obrázku tvoří spolu se spojnicí bodů pravoúhlý trojúhelník. Vzdálenost bodů potom dopočítáme z pythagorovy věty.
Ad 2)
Velikost vetktoru je definována podobně jako vzdálenost bodů. Vektor můžeme napsat jako . Můžeme kreslit třeba z počátku . Opět, tyto tři čáry pak vytvoří pravoúhlý trojúhelník o odvěsnách a přeponě o délce odpovídající velikosti vektoru. Takže opět Pythagorova věta.
Ad 3) a
Parametrická rovnice přímky se zapisuje ve tvaru
kde a jsou složky SMĚROVÉHO vektoru. Směrový vektor přímky je libovolný násobek vektoru, který spojuje dva body přímky, v našem případě A a B. Takový vektor nejsnáze dostaneme tak, že
Koeficienty dopočítáme tak, aby na přímce ležely požadované body - definují přesnou pozici přímky. Mohou například odpovídat souřadnicím jednoho z bodů - jeho pozice bude odpovídat .
Ad 3) b
Obecná rovnice přímky se sestavuje za pomoci NORMÁLOVÉHO vektoru (vektoru kolmého na danou přímku). Pro dané zadání odpovídá směrový vektor získaný v předchozí úloze požadovanému normálovému pro tuto.
Rovnice takové přímky vypadá následovně:
kde jsou po řadě souřadnice normálového vektoru . Dosazením souřadnic bodu A za a dopočítáme koeficient .
Ad 4)
Tady není zadání jednoznačné. Pokud jde o bod a), stačí si vymyslet libovolné (předpokládám, že bylo použito navržené řešení a by vytvořilo bod B. Pokud jde o bod b), tak si vymyslíme libovolné a dopočítáme z rovnice.
Ad 5)
Viz úloha 3b - normálový vektor máme rovnou z rovnice. Směrový vektor je na něj kolmý. Při zachování konvence je směrový, je normálový platí
Ad 6)
Existuje na to vzorec. Nicméně logika za touto úlohou je, že si napíšeme rovnici přímky kolmé na zadanou přímku a procházející zadaným bodem. Vzdálenost bodu K od průsečíku přímky k a přímky nové odpovídá požadované vzdálenosti.
Nejsnáze dostaneme parametrické vyjádření potřebné přímky - z normálového vektoru přímky k dostaneme směrový vektor (viz 5). Potom dosadíme za hodnoty souřadnice bodu K.
Získané rovnice pro a dosadíme do rovnice přímky k a spočítáme hodnotu .
Vzdálenost bodu od přímky pak bude odpovídat -násobku velikosti směrového vektoru nové přímky (viz 2).
Ad 7)
Předpokládám, že zadání je špatně zkopírované a hodnoty s odpovídají přímce a hodnoty s přímce . Známe směrové vektory obou přímek. Odchylku vektorů získáme z rovnice
Ty svislé čáry značí velikost vektoru, v čitateli je potom skalární součin:
Ad 8
Pro rovnoběžné přímky platí (viz 7), že
Samozřejmě lze tohle použít i pro normálové vektory, které získáme z rovnic (kolmice na dvě rovnoběžky jsou taky rovnoběžné).
Stejně tak odchylka normál odpovídá odchylce směrových vektorů. Řešení tedy viz 7.
Ahoj, budeš-li chtít některý příklad vysvětlit podrobněji, dej ho nejlépe jako samostatný dotaz, určitě se toho někdo ujmeme. U analytické geometrie je vhodné začít od základů a postupovat postupně :), protože další úzce souvisí s předchozím. Na webu je to myslím pěkně vysvětlené např. zde http://www.realisticky.cz/dil.php?id=20