Matematika

Ad 1)

Souřadnice bodů nám říkají jejich polohu vůči počátku ve vodorovném a svislém směru. Vzdálenost v daném směru spočítáme jako \(\Delta_x = |x_1-x_2|\), pro \(\Delta_y\) analogicky. Tyto dvě vzdálenosti na obrázku tvoří spolu se spojnicí bodů pravoúhlý trojúhelník. Vzdálenost bodů potom dopočítáme z pythagorovy věty.

Ad 2)

Velikost vetktoru je definována podobně jako vzdálenost bodů. Vektor \(\vec{ (x,y)} \) můžeme napsat jako \(\vec{ (x,0)} + \vec{ (0,y)} \). Můžeme kreslit třeba z počátku \([0,0]\). Opět, tyto tři čáry pak vytvoří pravoúhlý trojúhelník o odvěsnách \(x, y\) a přeponě o délce odpovídající velikosti vektoru. Takže opět Pythagorova věta.

Ad 3) a

Parametrická rovnice přímky se zapisuje ve tvaru

\( x = v_x * t + m\)

\( y = v_y * t + n\)

kde \(v_x\) a \(v_y\) jsou složky SMĚROVÉHO vektoru. Směrový vektor přímky je libovolný násobek vektoru, který spojuje dva body přímky, v našem případě A a B. Takový vektor nejsnáze dostaneme tak, že \(\vec{ (v_x,v_y)} = \vec{ (b_x-a_x,b_y-a_y)} \)

Koeficienty \(m,n\) dopočítáme tak, aby na přímce ležely požadované body - definují přesnou pozici přímky. Mohou například odpovídat souřadnicím jednoho z bodů - jeho pozice bude odpovídat \( t = 0 \).

Ad 3) b

Obecná rovnice přímky se sestavuje za pomoci NORMÁLOVÉHO vektoru (vektoru kolmého na danou přímku). Pro dané zadání odpovídá směrový vektor získaný v předchozí úloze požadovanému normálovému pro tuto.

Rovnice takové přímky vypadá následovně:

\( ax + by + c = 0 \)

kde \( a,b \) jsou po řadě souřadnice normálového vektoru \( n_x,n_y \). Dosazením souřadnic bodu A za \( x \) a \( y \) dopočítáme koeficient \( c \).

Ad 4)

Tady není zadání jednoznačné. Pokud jde o bod a), stačí si vymyslet libovolné \(t \neq 1 \) (předpokládám, že bylo použito navržené řešení a \(t = 1\) by vytvořilo bod B. Pokud jde o bod b), tak si vymyslíme libovolné \(x\) a \(y\) dopočítáme z rovnice.

Ad 5)

Viz úloha 3b - normálový vektor máme rovnou z rovnice. Směrový vektor je na něj kolmý. Při zachování konvence \( \vec{ v} \) je směrový, \( \vec{ n} \) je normálový platí

\( \vec{ v} = \vec{ (v_x,v_y)} = \vec{ (-n_y,n_x)} \)

Ad 6)

Existuje na to vzorec. Nicméně logika za touto úlohou je, že si napíšeme rovnici přímky kolmé na zadanou přímku a procházející zadaným bodem. Vzdálenost bodu K od průsečíku přímky k a přímky nové odpovídá požadované vzdálenosti.

Nejsnáze dostaneme parametrické vyjádření potřebné přímky - z normálového vektoru přímky k dostaneme směrový vektor (viz 5). Potom dosadíme za hodnoty \( m,n\) souřadnice bodu K.

Získané rovnice pro \( x\) a \( y\) dosadíme do rovnice přímky k a spočítáme hodnotu \( t\).

Vzdálenost bodu od přímky pak bude odpovídat \( t\)-násobku velikosti směrového vektoru nové přímky (viz 2).

Ad 7)

Předpokládám, že zadání je špatně zkopírované a hodnoty s \( t\) odpovídají přímce \( a\) a hodnoty s \( s\) přímce \( b\). Známe směrové vektory obou přímek. Odchylku vektorů získáme z rovnice

\(\cos\alpha = \frac{ \vec{ v} \cdot\vec{ w} } { |v|\cdot|w|} \)

Ty svislé čáry značí velikost vektoru, v čitateli je potom skalární součin:

\(\vec{ v} \cdot\vec{ u} = \vec{ (v_x w_x,v_y w_y)} \)

Ad 8

Pro rovnoběžné přímky platí (viz 7), že

\(\vec{ v} \cdot\vec{ w} = |v|\cdot|w|\)

Samozřejmě lze tohle použít i pro normálové vektory, které získáme z rovnic (kolmice na dvě rovnoběžky jsou taky rovnoběžné).

Stejně tak odchylka normál odpovídá odchylce směrových vektorů. Řešení tedy viz 7.

Ahoj, budeš-li chtít některý příklad vysvětlit podrobněji, dej ho nejlépe jako samostatný dotaz, určitě se toho někdo ujmeme. U analytické geometrie je vhodné začít od základů a postupovat postupně :), protože další úzce souvisí s předchozím. Na webu je to myslím pěkně vysvětlené např. zde http://www.realisticky.cz/dil.php?id=20