Dobrý den potřeboval bych prosím pomoci s domácí úkolem, absolutně analytickou matematiku nechápu. Děkuji.

  1. Jsou dány body X = [ 2; 3] a Y = [-1; 1]. Určete jejich vzdálenost.

  2. Určete neznámou souřadnici vektoru

y = (-3; y2) tak, aby jeho velikost byla 5.

  1. a) Napište parametrické rovnice přímky procházející body: A = [-2; 3] a B = [ 3; 5].

    b) Napište obecnou rovnici přímky, která je kolmá na přímku z příkladu 3a) a prochází bodem A

  2. Napište souřadnice dalšího bodu, který leží na přímce z příkladu 3.

  3. Určete směrový a normálový vektor přímky p: 2x - 3y + 2 = 0.

  4. Určete vzdálenost bodu K = [-1; 3] od přímky k: 2x + 5y - 1 = 0​

  5. Určete odchylku přímek a a b

​a: x = -2 + 3t b: x = 2s y = 2 - 2t t є R y = 1 + 3s s є R.

  1. Určete vzájemnou polohu přímek p a q. V případě, že jsou různoběžné, určete souřadnice jejich průsečíku.

​p: 2x – 3y + 5 = 0,​ q: 2x + y + 1 = 0


Obtížnost: Střední škola
David F.

David F.

16. 05. 2021   22:29

2 odpovědi

Jan Z.
Jan Z.
16.05.2021 23:16:57

Ad 1)

Souřadnice bodů nám říkají jejich polohu vůči počátku ve vodorovném a svislém směru. Vzdálenost v daném směru spočítáme jako Δx=|x1x2|, pro Δy analogicky. Tyto dvě vzdálenosti na obrázku tvoří spolu se spojnicí bodů pravoúhlý trojúhelník. Vzdálenost bodů potom dopočítáme z pythagorovy věty.

Ad 2)

Velikost vetktoru je definována podobně jako vzdálenost bodů. Vektor (x,y) můžeme napsat jako (x,0)+(0,y). Můžeme kreslit třeba z počátku [0,0]. Opět, tyto tři čáry pak vytvoří pravoúhlý trojúhelník o odvěsnách x,y a přeponě o délce odpovídající velikosti vektoru. Takže opět Pythagorova věta.

Ad 3) a

Parametrická rovnice přímky se zapisuje ve tvaru

x=vxt+m

y=vyt+n

kde vx a vy jsou složky SMĚROVÉHO vektoru. Směrový vektor přímky je libovolný násobek vektoru, který spojuje dva body přímky, v našem případě A a B. Takový vektor nejsnáze dostaneme tak, že (vx,vy)=(bxax,byay)

Koeficienty m,n dopočítáme tak, aby na přímce ležely požadované body - definují přesnou pozici přímky. Mohou například odpovídat souřadnicím jednoho z bodů - jeho pozice bude odpovídat t=0.

Ad 3) b

Obecná rovnice přímky se sestavuje za pomoci NORMÁLOVÉHO vektoru (vektoru kolmého na danou přímku). Pro dané zadání odpovídá směrový vektor získaný v předchozí úloze požadovanému normálovému pro tuto.

Rovnice takové přímky vypadá následovně:

ax+by+c=0

kde a,b jsou po řadě souřadnice normálového vektoru nx,ny. Dosazením souřadnic bodu A za x a y dopočítáme koeficient c.

Ad 4)

Tady není zadání jednoznačné. Pokud jde o bod a), stačí si vymyslet libovolné t1 (předpokládám, že bylo použito navržené řešení a t=1 by vytvořilo bod B. Pokud jde o bod b), tak si vymyslíme libovolné x a y dopočítáme z rovnice.

Ad 5)

Viz úloha 3b - normálový vektor máme rovnou z rovnice. Směrový vektor je na něj kolmý. Při zachování konvence v je směrový, n je normálový platí

v=(vx,vy)=(ny,nx)

Ad 6)

Existuje na to vzorec. Nicméně logika za touto úlohou je, že si napíšeme rovnici přímky kolmé na zadanou přímku a procházející zadaným bodem. Vzdálenost bodu K od průsečíku přímky k a přímky nové odpovídá požadované vzdálenosti.

Nejsnáze dostaneme parametrické vyjádření potřebné přímky - z normálového vektoru přímky k dostaneme směrový vektor (viz 5). Potom dosadíme za hodnoty m,n souřadnice bodu K.

Získané rovnice pro x a y dosadíme do rovnice přímky k a spočítáme hodnotu t.

Vzdálenost bodu od přímky pak bude odpovídat t-násobku velikosti směrového vektoru nové přímky (viz 2).

Ad 7)

Předpokládám, že zadání je špatně zkopírované a hodnoty s t odpovídají přímce a a hodnoty s s přímce b. Známe směrové vektory obou přímek. Odchylku vektorů získáme z rovnice

cosα=vw|v||w|

Ty svislé čáry značí velikost vektoru, v čitateli je potom skalární součin:

vu=(vxwx,vywy)

Ad 8

Pro rovnoběžné přímky platí (viz 7), že

vw=|v||w|

Samozřejmě lze tohle použít i pro normálové vektory, které získáme z rovnic (kolmice na dvě rovnoběžky jsou taky rovnoběžné).

Stejně tak odchylka normál odpovídá odchylce směrových vektorů. Řešení tedy viz 7.

Jan P.
Jan P.
17.05.2021 13:17:41

Ahoj, budeš-li chtít některý příklad vysvětlit podrobněji, dej ho nejlépe jako samostatný dotaz, určitě se toho někdo ujmeme. U analytické geometrie je vhodné začít od základů a postupovat postupně :), protože další úzce souvisí s předchozím. Na webu je to myslím pěkně vysvětlené např. zde http://www.realisticky.cz/dil.php?id=20

Pro napsání komentáře se musíte přihlásit.