Náhodné procesy

Ahoj, vůbec nevím, kde bych začala. Mohu poprosit?

Lojza a Bořek hrají hazardní hru. Každý hodí kostkou. Komu padne větší číslo, vyhraje od protihráče 1 korunu. Hodí-li stejné číslo, nikdo nic neplatí a pokračují ve hře. Hra končí, když některému z nich dojdou peníze. Jaká je pravděpodobnost, že budou pokračovat po třetím kole, když Lojza má 3 koruny a Bořek 2?

Pomůcka: Stav procesu je finanční stav pouze jednoho hráče (kolik má korun), protože ve hře je známý celkový počet korun (5) a když známe, kolik korun má jeden, víme okamžitě, kolik má druhý.

Je to spíše příklad na náhodné procesy - nejspíš jak jsou markovské řetězce.

Děkuji.


Obtížnost: Vysoká škola
Jitka K.

Jitka K.

19. 06. 2021   19:46

6 odpovědí

Tomáš B.
Tomáš B.
19.06.2021 23:03:08

Podle nápovědy bude stav hry reprezentovaný finančním stavem jednoho hráče, což je 0, 1, 2, 3, 4, 5 korun a vybereš si třeba Lojzu.

Dál si sestavíš matici přechodu mezi stavy P - pokud má aktuálně 0<N<5 korun, bude mít po dalším kole N korun s pravděpodobností 6/36, N-1 korun s ppstí 15/36 a N+1 korun s ppstí 15/36. Pokud má Lojza 0 nebo 5 korun zůstane ve stavu s ppstí 1.

Hra začíná v pravděpodobnostním stavu S=(0, 0, 0, 1, 0, 0) protože Lojza má do začátku 3 koruny.

A teď stačí spočítat vektor pravděpodobností po 3 hrách, (P^3).S, který ti prozradí šanci, že hra skončila, protože Lojza má 0 nebo 5 korun a šanci, že hra pokračuje v ostatních případech.

V obou úlohách, na které se ptáš, stačí sestavit matici a šikovně ji vynásobit. Není to o nic složitější než obyčejná pravděpodobnost, akorát je tam navíc lineární algebra.

Jitka K.
Jitka K.
19.06.2021 23:42:06

S tou maticí přechodu souhlasím. Děkuji.

A jak ji prosím vytvořit? :-)

Jan Z.
Jan Z.
20.06.2021 15:24:15

Do té matice se naskládají pravděpodobnosti přechodu mezi stavy. Jelikož násobíme maticí sloupcový vektor zleva, číslování sloupců matice budou odpovídat výchozím stavům, číslování řádků koncovým stavům.

Například pravděpodobnost přechodu ze stavu 2 do stavu 3 dáme na třetí řádek druhého sloupce matice.

Jitka K.
Jitka K.
20.06.2021 22:18:22

Můžete prosím naznačit? Ta matice bude velká 6x6?

Jan Z.
Jan Z.
20.06.2021 22:32:18

Maticí potřebuju násobit vektor o délce 6 (pravděpodobnost, že jsem v daném stavu) a potřebuju, aby vylezl vektor o délce 6 (pravděpodobnost stavů po hře). Tedy ano, matice bude 6x6.

V levém horním rohu (přechod z nuly do nuly) je 1, v pravém dolním rohu (přechod z 5 do 5) je také 1. Na zbytku diagonály je pravděpodobnost remízy, tedy 1/6. Pod a nad diagonálou budou hodnoty 15/36. Jen v krajních sloupcích budou nuly. Zbytek matice je tvořen nulami.

Kontrola je, že součet za každý sloupec musí být 1 - nějaká z možností nastane.

Souhlasí: 1    
Jitka K.
Jitka K.
21.06.2021 00:02:12

Děkuji moc. Už to mám i spočítané.

Pro napsání komentáře se musíte přihlásit.