Náhodné procesy a limitní podíl
Ahoj, poprosím ještě jeden příklad na náhodné procesy.
V malém městečku jsou tři obchody prodávající nápoje:
"NA ROHU", "U DĚDKA"a "U ŽIDA". Od 1000 zákazníků bylo zjištěno, že 85% zákazníku obchodu "U DĚDKA" nápoje nakupuje ve stejném obchodě i příště. Zákazníci obchodu "U ŽIDA" zůstanou věrní v 70% případů a věrnost zákazníků obchodu "NA ROHU" je 80%.
Jaký bude limitní podíl jednotlivých obchodů na trhu s nápoji, jestliže v případě změny obchodu se rozhodovali náhodně?
Jitka K.
19. 06. 2021 19:49
8 odpovědí
Podle zadání si sestrojíš matici přechodu:
\(
\begin{ bmatrix}
.85 & .15 & .1 \\
.075 & .7 & .1 \\
.075 & .15 & .8
\end{ bmatrix}
\)
Limitní podíl je ekvilibrium systému, které existuje a bude unikátní, pokud je matice stochastická, aperiodická a ireducibilní. To je snadno vidět a můžeš ověřit, že největší eigenvalue je 1.
Řešení najdeš přes principální eigenvector, což je přibližně (.74, .37, .56) a po normalizaci dostaneš distribuci zákazníků (.44, .22, .33)
Matice se tu nějak špatně formátují
[.85 .15 .1]
[.075 .7 .1]
[.075 .15 .8]
S tou maticí přechodu souhlasím. Děkuji.
A jak ji vytvořit? :-)
Tu jsem ti poslal v předchozím příspěvku.
Děkuji Tomáši, ale nějaký algoritmus, jak se k ní dojde?
Už jsem na to přišla. Děkuji moc.
Ještě se nemůžu dopočítat z principální eigenvector, což je přibližně
(.74, .37, .56) na (.44, .22, .33)? Můžeš poradit.
Hledáme limitní stav náhodného procesu, pokud existuje, říkáme mu ekvilibrium.
Když máme matici přechodu \( P \) a stavový vektor \( s \), tak limitní stav bude "neměnný", neboli po "nekonečně" mnoha krocích musí platit \( P s = s \). Z toho je vidět, že limitní stav je vlastní vektor odpovídající vlastnímu číslu 1.
Nevím, co se po vás chce, ale obvykle se to zadá do nějakého softwaru, aby to vypočítal.
Jestli ale nevíš, co je to vlastní číslo, tak si budeš muset zopakovat lineární algebru, to už s pravděpodobností nesouvisí :)