Náhodný jev

Ahoj Petře,

máme vybrat \( n=4 \) vajíček z celkového počtu \( N=30 \) vajíček. Takových možností je

\(\displaystyle { N \choose n} ={ 30 \choose 4} \)

Z celkového počtu jsou \( K=3 \) vajíčka nakřápnutá. Počet vybraných nakřáplých vajíček označme \( k \). Počet možností, jak je vybrat, je

\(\displaystyle { K \choose k} ={ 3 \choose k} \)

Počet dobrých vajíček celkem je \( (N-K) \), z nich vybereme \( (n-k) \) dobrých, počet těchto možností je

\(\displaystyle { { N - K} \choose { n - k} } \)

Příznivých možností, jak vybrat \( k \) nakřáplých a \( (n-k) \) dobrých, je součin

\(\displaystyle { K \choose k} \cdot { { N - K} \choose { n - k} } \)

Pravděpodobnost, že právě \( k \) vajíček bude nakřáplých, je

\(\displaystyle P(k)= \frac{ { K \choose k} \cdot { { N - K} \choose { n - k} } } { { N \choose n} } \)

Máme určit pravděpodobnost, že nejvýše jedno je nakřápnuté (tj. jedno anebo žádné). Výsledná pravděpodobnost tedy bude

\( P=P(0)+P(1)\)

Mám to rozepsat číselně, nebo je to jasné?

Omlouvám se, ale radši bych to měl i číselně. Moc děkuji

Spočteme zvlášť pravděpodobnost \( P(0) \), že žádné vajíčko není nakřápnuté - a zvlášť pravděpodobnost \( P(1) \), že právě jedno vajíčko je nakřápnuté.

Žádné vajíčko není nakřápnuté \( (k=0) \) má pravděpodobnost:

\(\displaystyle P(0)=\frac{ { 3 \choose 0} \cdot { 27 \choose 4} } { { 30 \choose 4} } \)

Právě jedno vajíčko je nakřápnuté \( (k=1) \) má pravděpodobnost:

\(\displaystyle P(1)=\frac{ { 3 \choose 1} \cdot { 27 \choose 3} } { { 30 \choose 4} } \)

Obě pravděpodobnosti sečteme:

\( P=P(0)+P(1) \)

Obvykle se postupuje tak, že napíšeme počet příznivých možností

\(\displaystyle { 3 \choose 0} \cdot { 27 \choose 4} +{ 3 \choose 1} \cdot { 27 \choose 3} \)

a celkový počet možností

\(\displaystyle { 30 \choose 4} \)

a vydělíme, tedy výsledná pravděpodobnost je

\(\displaystyle P=\frac{ { 3 \choose 0} \cdot { 27 \choose 4} +{ 3 \choose 1} \cdot { 27 \choose 3} } { { 30 \choose 4} } \)

Pro zajímavost a lepší pochopení - vychází:

\( \displaystyle P(0)=\frac{ 130} { 203} \approx 0.6404 \)

\( \displaystyle P(1)=\frac{ 65} { 203} \approx 0.3202 \)

\( \displaystyle P(2)=\frac{ 39} { 1015} \approx 0.0384 \)

\( \displaystyle P(3)=\frac{ 1} { 1015} \approx 0,0010 \)

Součet těchto pravděpodobností je přesně roven 1 (= 100 %).

Pravděpodobnost, že vybereme nakřápnuté

nejvýše jedno: \( \displaystyle P(0)+P(1)=0.9606\)

nejvýše dvě: \( \displaystyle P(0)+P(1)+P(2)=0.9990\)

Pravděpodobnost, že vybereme nakřápnuté

aspoň jedno: \( \displaystyle P(1)+P(2)+P(3)= 1-P(0)=0.3596\)

aspoň dvě: \( \displaystyle P(2)+P(3)= 0.3586\)