Náhodný jev

Ahoj Petře,

máme vybrat $n=4$ vajíček z celkového počtu $N=30$ vajíček. Takových možností je

$\displaystyle { N \choose n} ={ 30 \choose 4}$

Z celkového počtu jsou $K=3$ vajíčka nakřápnutá. Počet vybraných nakřáplých vajíček označme $k$. Počet možností, jak je vybrat, je

$\displaystyle { K \choose k} ={ 3 \choose k}$

Počet dobrých vajíček celkem je $(N-K)$, z nich vybereme $(n-k)$ dobrých, počet těchto možností je

$\displaystyle { { N - K} \choose { n - k} }$

Příznivých možností, jak vybrat $k$ nakřáplých a $(n-k)$ dobrých, je součin

$\displaystyle { K \choose k} \cdot { { N - K} \choose { n - k} }$

Pravděpodobnost, že právě $k$ vajíček bude nakřáplých, je

$\displaystyle P(k)= \frac{ { K \choose k} \cdot { { N - K} \choose { n - k} } } { { N \choose n} }$

Máme určit pravděpodobnost, že nejvýše jedno je nakřápnuté (tj. jedno anebo žádné). Výsledná pravděpodobnost tedy bude

$P=P(0)+P(1)$

Mám to rozepsat číselně, nebo je to jasné?

Omlouvám se, ale radši bych to měl i číselně. Moc děkuji

Spočteme zvlášť pravděpodobnost $P(0)$, že žádné vajíčko není nakřápnuté - a zvlášť pravděpodobnost $P(1)$, že právě jedno vajíčko je nakřápnuté.

Žádné vajíčko není nakřápnuté $(k=0)$ má pravděpodobnost:

$\displaystyle P(0)=\frac{ { 3 \choose 0} \cdot { 27 \choose 4} } { { 30 \choose 4} }$

Právě jedno vajíčko je nakřápnuté $(k=1)$ má pravděpodobnost:

$\displaystyle P(1)=\frac{ { 3 \choose 1} \cdot { 27 \choose 3} } { { 30 \choose 4} }$

Obě pravděpodobnosti sečteme:

$P=P(0)+P(1)$

Obvykle se postupuje tak, že napíšeme počet příznivých možností

$\displaystyle { 3 \choose 0} \cdot { 27 \choose 4} +{ 3 \choose 1} \cdot { 27 \choose 3}$

a celkový počet možností

$\displaystyle { 30 \choose 4}$

a vydělíme, tedy výsledná pravděpodobnost je

$\displaystyle P=\frac{ { 3 \choose 0} \cdot { 27 \choose 4} +{ 3 \choose 1} \cdot { 27 \choose 3} } { { 30 \choose 4} }$

Pro zajímavost a lepší pochopení - vychází:

$\displaystyle P(0)=\frac{ 130} { 203} \approx 0.6404$

$\displaystyle P(1)=\frac{ 65} { 203} \approx 0.3202$

$\displaystyle P(2)=\frac{ 39} { 1015} \approx 0.0384$

$\displaystyle P(3)=\frac{ 1} { 1015} \approx 0,0010$

Součet těchto pravděpodobností je přesně roven 1 (= 100 %).

Pravděpodobnost, že vybereme nakřápnuté

nejvýše jedno: $\displaystyle P(0)+P(1)=0.9606$

nejvýše dvě: $\displaystyle P(0)+P(1)+P(2)=0.9990$

Pravděpodobnost, že vybereme nakřápnuté

aspoň jedno: $\displaystyle P(1)+P(2)+P(3)= 1-P(0)=0.3596$

aspoň dvě: $\displaystyle P(2)+P(3)= 0.3586$