Numerické řešení rovnice

Zasekl jsem se na jedné úloze ze sbírky, úloze o koze ...přeformulováno do řeči geometrie: Mějme kružnici k1k1 o poloměru r1=10, a kružnici k2 se středem ležícím na k1 takovou, že rozdělí obsah kruhu k1 na části o stejném obsahu. Jakou velikost má poloměr r2 kružnice k2 ?

Vyšlo mi (klasicky, ze vztahů délky/plochy/úhly pro úseče/výseče/trojuh.):

\(\beta*cos \beta - sin \beta + \frac{ \pi} { 2} = 0

\)

\(r_2 = cos \left ( \beta/2 \right ) * 2 * r_1

\)

\(\left [ \beta=2\alpha \right ]

\) ...viz obrázek

Beta se nedá přímo spočítat...

Příloha k dotazu
✓   Téma bylo vyřešeno.

Obtížnost: Střední škola
Kategorie: Rovnice
Petr F.

Petr F.

29. 05. 2021   21:10

4 odpovědi

Petr F.
Petr F.
29.05.2021 21:23:40

Chtěl jsem položit dotaz (poradit jakou num.metodu nejvhodnější použít) a byl jsem ukončen, mea culpa ...bohužel to mrší latex, píšu to znova, snad se zadaří :)

\(\beta*cos \beta - sin \beta + \frac{ \pi} { 2} = 0

\)

\(r_2 = cos \left ( \beta/2 \right ) * 2 * r_1

\)

β=2α

Jan Z.
Jan Z.
30.05.2021 10:00:49

První funkci lze řešit nejjednodušší Newtonovou metodou půlení intervalů - z vykreslení grafu funkce nebo z vyšetření monotonosti (za předpokladu, že hledáme hodnotu mezi nulou a přímým úhlem) plyne, že je tam pouze jedna nulová hodnota a tím pádem tato metoda určitě uspěje.

Druhá rovnice pak již po dosazení β přímo definuje poměr velikosti poloměrů.

Souhlasí: 1    
Jan Z.
Jan Z.
30.05.2021 10:04:03

Logika té metody je následující:

  1. Vyhodnoť funkční hodnotu ve třech bodech - kraje intervalu a jeho polovina.
  2. Nech si ten prostřední + krajní, v němž má funkční hodnota opačné znaménko
  3. Použij výsledek bodu 2) jako vstupní interval bodu 1)

Iteruje se, dokud není velikost vstupního intervalu pod hranicí požadované přesnosti výpočtu.

Souhlasí: 1    
Petr F.
Petr F.
01.06.2021 10:45:43

Díky za Newtona ...na monotonním intervalu a volbou x1 x2 jako krajních bodů aby se zaručilo že kořen leží uvnitř je to univerzální metoda a předpokládám že rychlost s jakou konverguje ani nezáleží na dané funkci (po 13 krocích přesnost 3 desetinná místa).

Vyzkoušel jsem metodu aproximací funkce jako tečen v bodě (x,f(x)) kde má směrnici k=-x*sin x u funkce f(beta). Z grafu je patrné že se trochu zmenšil interval x na kterém iterace konverguje, výhodou je je minimální počet kroků k dosažení přesného výsledku.

Příloha ke komentáři
Pro napsání komentáře se musíte přihlásit.