Odvození rovnic zobrazení osově souměrného bodu

Způsobů odvození je hodně, jestli máme zůstat v analytické geometrii, tak se jedná o jednoduchou optimalizační úlohu.

Hledáš bod $(h,k,l)$, který je nejblíž bodu $(x_1, x_2, x_3)$ a leží na množině dané rovinou. Vzdálenost měříme euklidovsky, takže Pythogorova věta. Minimalizujeme funkci s omezením, takže Lagrangeovy multiplikátory.

V příloze je ukázka první části, ta druhá už bude jen geometrie.

Ještě dodám, že když je člověk trochu zběhlý v lineární algebře, je ten vzorec poměrně intuitivní.

$\frac{ h-x_1} { a} = -\frac{ ax_1+bx_2+cx_3-d} { a^2+b^2+c^2}$

Zjednoduším si život a položím $d=0$, tím jen říkám, že rovina prochází počátkem. Pak pár jednoduchých úprav.

$x_1-h = \frac{ ax_1+bx_2+cx_3} { a^2+b^2+c^2} a$

A tady už je jasně vidět, o co jde, protože na pravé straně je jen vnitřní součin na euklidovském prostoru.

$x_1-h = \frac{ \left< (a,b,c),(x_1,x_2,x_3) \right>} { |(a,b,c)|^2} a$

Navíc máme první komponentu nějakého bodu, když to vyjádříme vektorově, dostaneme, že vzdálenost bodu $X$ od paty kolmice $P$ odpovídá projekci $X$ na normálu $V$ dané roviny.

$X-P = \frac{ \left< V,X \right>} { |V|^2} V$