Pravděpodobnost

Přeji pěkné odpoledne, Ivano,

počet všech možných výsledků pokusu je v prvním příkladě \(20\), neboť je k dispozici \(20\) výrobků. Počet výsledků pokusu příznivých zkoumanému jevu je roven \(4\). Pravpědodobnost výběru nekvalitního produktu je tedy \(p = \frac{ 4} { 20} = \frac{ 1} { 5} \).

V druhém příkladu se zřejmě neobejdeme bez hypergeometrického rozdělení pravděpodobnosti. Náhodná veličina s hypergeometrickým rozdělením pravděpodobnosti \(X \sim Hg(20, 4, 3)\) říká, že máme k dispozici \(20\) výrobků, sledovanou vlastnost mají \(4\) výrobky a provádíme \(3\) náhodné výběry tak, že vybraný objekt po provedení pokusu nevracíme mezi ostatní.

Pravděpodobnostní funkce \(p(X = x)\) zde bude definovaná pro \(x \in \) { \(0, 1, 2, 3\)} následovně:

\(p(x) = { 4 \choose x} \cdot { 16 \choose 3 - x} \cdot { 20 \choose 3} ^{ -1} \)

Vy jen potřebujete vypočítat \(p(x)\) pro \(x = 0\) (všechny bezvadné), \(x = 1\) (jeden s vadou) a \(x = 3\) (všechny vadné).

Mám pocit, že na střední škole moc netuší, co je to rozdělení, lepší postup by byl přes pravidla součtu a součinu.

Přeji pěkné odpoledne, Tomáši,

omlouvám se, úplně jsem přehlédl, že jde o sekci Střední škola. Automaticky mě napadlo řešit to přes hypergeometrické rozdělení. Děkuji vám za upozornění.

Pro původní tazatelku tedy doplňuji:

Pokud počítáme pravděpodobnost, že vyberu tři bezvadné výrobky, pak při prvním náhodném pokusu je pravděpodobnost výběru bezvadného výrobku \(\frac{ 16} { 20} \), při druhém už \(\frac{ 15} { 19} \), protože už mohu vybírat pouze z \(19\) výrobků a už je mezi nimi jen \(15\) bezvadných, při posledním výběru je tato pravděpodobnost již \(\frac{ 14} { 18} \). Všechny tyto jevy jsou nezávislé, tedy pravděpodobnost, že nastanou všechny, je rovna součinu dílčích pravděpodobnostní.

\(p_0 = \frac{ 16} { 20} \cdot \frac{ 15} { 19} \cdot \frac{ 14} { 18} = \frac{ 28} { 57} \)

Analogicky postupuji v případě výběru tří vadných výrobků:

\(p_3 = \frac{ 4} { 20} \cdot \frac{ 3} { 19} \cdot \frac{ 2} { 18} = \frac{ 1} { 285} \)

Co se týče výběru jednoho vadného výrobku, mohou nastat \(3\) případy, tedy že vadný výrobek vyberu jako první, jako druhý nebo jako třetí. Pak pravděpodobnost výběru jednoho vadného prvku bude součtem těchto dílčích pravděpodobností.

\(p_1 = \frac{ 4} { 20} \cdot \frac{ 16} { 19} \cdot \frac{ 15} { 18} + \frac{ 16} { 20} \cdot \frac{ 4} { 19} \cdot \frac{ 15} { 18} + \frac{ 16} { 20} \cdot \frac{ 15} { 19} \cdot \frac{ 4} { 18} = 3 \cdot \frac{ 8} { 57} = \frac{ 8} { 19} \)

Dekují za pomoc. Teď to aspoň chápu.