Pravděpodobnost

Přeji pěkné odpoledne, Ivano,

počet všech možných výsledků pokusu je v prvním příkladě $20$, neboť je k dispozici $20$ výrobků. Počet výsledků pokusu příznivých zkoumanému jevu je roven $4$. Pravpědodobnost výběru nekvalitního produktu je tedy $p = \frac{ 4} { 20} = \frac{ 1} { 5}$.

V druhém příkladu se zřejmě neobejdeme bez hypergeometrického rozdělení pravděpodobnosti. Náhodná veličina s hypergeometrickým rozdělením pravděpodobnosti $X \sim Hg(20, 4, 3)$ říká, že máme k dispozici $20$ výrobků, sledovanou vlastnost mají $4$ výrobky a provádíme $3$ náhodné výběry tak, že vybraný objekt po provedení pokusu nevracíme mezi ostatní.

Pravděpodobnostní funkce $p(X = x)$ zde bude definovaná pro $x \in$ { $0, 1, 2, 3$} následovně:

$p(x) = { 4 \choose x} \cdot { 16 \choose 3 - x} \cdot { 20 \choose 3} ^{ -1}$

Vy jen potřebujete vypočítat $p(x)$ pro $x = 0$ (všechny bezvadné), $x = 1$ (jeden s vadou) a $x = 3$ (všechny vadné).

Mám pocit, že na střední škole moc netuší, co je to rozdělení, lepší postup by byl přes pravidla součtu a součinu.

Přeji pěkné odpoledne, Tomáši,

omlouvám se, úplně jsem přehlédl, že jde o sekci Střední škola. Automaticky mě napadlo řešit to přes hypergeometrické rozdělení. Děkuji vám za upozornění.

Pro původní tazatelku tedy doplňuji:

Pokud počítáme pravděpodobnost, že vyberu tři bezvadné výrobky, pak při prvním náhodném pokusu je pravděpodobnost výběru bezvadného výrobku $\frac{ 16} { 20}$, při druhém už $\frac{ 15} { 19}$, protože už mohu vybírat pouze z $19$ výrobků a už je mezi nimi jen $15$ bezvadných, při posledním výběru je tato pravděpodobnost již $\frac{ 14} { 18}$. Všechny tyto jevy jsou nezávislé, tedy pravděpodobnost, že nastanou všechny, je rovna součinu dílčích pravděpodobnostní.

$p_0 = \frac{ 16} { 20} \cdot \frac{ 15} { 19} \cdot \frac{ 14} { 18} = \frac{ 28} { 57}$

Analogicky postupuji v případě výběru tří vadných výrobků:

$p_3 = \frac{ 4} { 20} \cdot \frac{ 3} { 19} \cdot \frac{ 2} { 18} = \frac{ 1} { 285}$

Co se týče výběru jednoho vadného výrobku, mohou nastat $3$ případy, tedy že vadný výrobek vyberu jako první, jako druhý nebo jako třetí. Pak pravděpodobnost výběru jednoho vadného prvku bude součtem těchto dílčích pravděpodobností.

$p_1 = \frac{ 4} { 20} \cdot \frac{ 16} { 19} \cdot \frac{ 15} { 18} + \frac{ 16} { 20} \cdot \frac{ 4} { 19} \cdot \frac{ 15} { 18} + \frac{ 16} { 20} \cdot \frac{ 15} { 19} \cdot \frac{ 4} { 18} = 3 \cdot \frac{ 8} { 57} = \frac{ 8} { 19}$

Dekují za pomoc. Teď to aspoň chápu.