Pravděpodobnost- Příklad

Ještě jsem zapomněla 2. Otázku se stejným zadáním.

Jaká je pravděpodobnost, že zvolíme výbor, kde jsou předseda a místopředseda opačného pohlaví?

Přeji pěkný večer, Viktorie,

označme jako $V(k, n) = \frac{ n!} { (n - k)!}$ $k$členné variace z $n$ prvků, kde $n \geq k \wedge k \geq 0$. Při výpočtu využijeme variace, jelikož každá vybraná osoba má jedinečnou roli.

Množinu všech možných čtveřic, které takto můžeme z dostupných lidí vybrat, označíme $\Omega$. Jde o takzvaný základový prostor, tedy množina všech možných výsledků náhodného pokusu.

Platí: $|\Omega| = V(4, 10) = \frac{ 10!} { 6!} = 5040$, jelikož všech osob je $10$ a vybíráme čtyřčlennou skupinu s jedinečnými rolemi.

Množinu všech čtveřic, kde jsou všechny pozice obsazeny muži, označme $A$. Jde o takzvanou množinu výsledků příznivých jevu, který zkoumáme.

Platí: $|A| = V(4, 6) = \frac{ 6!} { 2!} = 360$, jelikož všech mužů je $6$ a vybíráme čtyřčlennou skupinu s jedinečnými rolemi.

Pravděpodobnost zkoumaného jevu je tedy podíl mohutností množin $A$ a $\Omega$.

Platí: $P = \frac{ |A|} { |\Omega|} = \frac{ 360} { 5040} = \frac{ 1} { 14}$, tedy pravděpodobnost, že vybereme pouze muže, je $\frac{ 1} { 14}$.

Co se týče druhého úkolu, základový prostor bude opět $\Omega$, tedy počet všech možných čtveřic je stále $|\Omega| = 5040$.

Množinu všech výsledků příznivých jevu (tedy takové čtveřice, kde se liší pohlaví předsedy a místopředsedy) označme $B$.

Stačí si uvědomit, že máme $V(1,6)$ možností, jak za předsedu vybrat muže a současně máme $V(1,4)$ možností, jak vybrat za místopředsedu ženu, neboť vybíráme jen jednoho člověka na jednu pozici. Tyto jevy musí nastat současně. Potom různých možností, jak vybrat zbylé dvě pozice, je $V(2,8)$, neboť nám zbývá $8$ lidí, z nichž můžeme vybírat. Analogicky by celá situace vypadala, pokud by předsedou byla žena a místopředsedou muž.

Platí tedy: $|B| = 2 \cdot (V(1,6) \cdot V(1,4) \cdot V(2,8) ) = 2688$.

Pravděpodobnost, že na těchto dvou pozicích budou osoby opačného pohlaví, je tedy:

$P = \frac{ |B|} { |\Omega|} = \frac{ 2688} { 5040} = \frac{ 8} { 15}$.