Pravděpodobnost- Příklad

Ještě jsem zapomněla 2. Otázku se stejným zadáním.

Jaká je pravděpodobnost, že zvolíme výbor, kde jsou předseda a místopředseda opačného pohlaví?

Přeji pěkný večer, Viktorie,

označme jako \(V(k, n) = \frac{ n!} { (n - k)!} \) \(k\)členné variace z \(n\) prvků, kde \(n \geq k \wedge k \geq 0\). Při výpočtu využijeme variace, jelikož každá vybraná osoba má jedinečnou roli.

Množinu všech možných čtveřic, které takto můžeme z dostupných lidí vybrat, označíme \(\Omega\). Jde o takzvaný základový prostor, tedy množina všech možných výsledků náhodného pokusu.

Platí: \(|\Omega| = V(4, 10) = \frac{ 10!} { 6!} = 5040\), jelikož všech osob je \(10\) a vybíráme čtyřčlennou skupinu s jedinečnými rolemi.

Množinu všech čtveřic, kde jsou všechny pozice obsazeny muži, označme \(A\). Jde o takzvanou množinu výsledků příznivých jevu, který zkoumáme.

Platí: \(|A| = V(4, 6) = \frac{ 6!} { 2!} = 360\), jelikož všech mužů je \(6\) a vybíráme čtyřčlennou skupinu s jedinečnými rolemi.

Pravděpodobnost zkoumaného jevu je tedy podíl mohutností množin \(A\) a \(\Omega\).

Platí: \(P = \frac{ |A|} { |\Omega|} = \frac{ 360} { 5040} = \frac{ 1} { 14} \), tedy pravděpodobnost, že vybereme pouze muže, je \(\frac{ 1} { 14} \).

Co se týče druhého úkolu, základový prostor bude opět \(\Omega\), tedy počet všech možných čtveřic je stále \(|\Omega| = 5040\).

Množinu všech výsledků příznivých jevu (tedy takové čtveřice, kde se liší pohlaví předsedy a místopředsedy) označme \(B\).

Stačí si uvědomit, že máme \(V(1,6)\) možností, jak za předsedu vybrat muže a současně máme \(V(1,4)\) možností, jak vybrat za místopředsedu ženu, neboť vybíráme jen jednoho člověka na jednu pozici. Tyto jevy musí nastat současně. Potom různých možností, jak vybrat zbylé dvě pozice, je \(V(2,8)\), neboť nám zbývá \(8\) lidí, z nichž můžeme vybírat. Analogicky by celá situace vypadala, pokud by předsedou byla žena a místopředsedou muž.

Platí tedy: \(|B| = 2 \cdot (V(1,6) \cdot V(1,4) \cdot V(2,8) ) = 2688\).

Pravděpodobnost, že na těchto dvou pozicích budou osoby opačného pohlaví, je tedy:

\(P = \frac{ |B|} { |\Omega|} = \frac{ 2688} { 5040} = \frac{ 8} { 15} \).