Řešení rovnice - příjimačky MFF 2k15

1. krok - podmínky: $\cos^2x\ne1$
2. krok - užitím vztahu $n\ln A=\ln A^n$ rovnici upravíme na $\sqrt{ 1-\sin^2x} =e^{ \ln\sqrt{ 1-\cos^2x} }$
3. krok - užitím vztahu $e^{ \ln A} =A$ přejde rovnice na $\sqrt{ 1-\sin^2x} =\sqrt{ 1-\cos^2x}$
4. krok - obě strany rovnice jsou definované a nezáporné. Můžeme bez obav umocnit.

$1-\sin^2x=1-\cos^2x$ 5. krok - rovnici upravíme, a to dvěma způsoby (není to nutné, ale zjednoduší to hledání odpovědí)

a) $\tan^2x=1\ \Rightarrow\ \tan x=\pm1$

b) $\cos^2x-\sin^2x=0\ \Rightarrow\ \cos2x=0$

obě úpravy dávají řešení $x=\frac\pi4+k\frac\pi2;\ k\in\mathbb Z$

Tvrzení

(a) je evidentně špatně

(b) je dobře, to plyne přímo z toho, že funkce kosinus je sudá (úprava b))

(c) je dobře, to je triviální

(d) úpravou $3(\frac\pi4+k\frac\pi2)=\frac\pi4+(3k+1)\frac\pi2$ a pokud je $k\in\mathbb Z$, tak i $(3k+1)\in\mathbb Z$. Takže toto je dobře.

e) evidentně špatně (úprava a))

super mockrát děkuju!