Řešení rovnice - příjimačky MFF 2k15

1. krok - podmínky: \(\cos^2x\ne1\)
2. krok - užitím vztahu \(n\ln A=\ln A^n\) rovnici upravíme na \(\sqrt{ 1-\sin^2x} =e^{ \ln\sqrt{ 1-\cos^2x} } \)
3. krok - užitím vztahu \(e^{ \ln A} =A\) přejde rovnice na \(\sqrt{ 1-\sin^2x} =\sqrt{ 1-\cos^2x} \)
4. krok - obě strany rovnice jsou definované a nezáporné. Můžeme bez obav umocnit.

\(1-\sin^2x=1-\cos^2x\) 5. krok - rovnici upravíme, a to dvěma způsoby (není to nutné, ale zjednoduší to hledání odpovědí)

a) \(\tan^2x=1\ \Rightarrow\ \tan x=\pm1\)

b) \(\cos^2x-\sin^2x=0\ \Rightarrow\ \cos2x=0\)

obě úpravy dávají řešení \(x=\frac\pi4+k\frac\pi2;\ k\in\mathbb Z\)

Tvrzení

(a) je evidentně špatně

(b) je dobře, to plyne přímo z toho, že funkce kosinus je sudá (úprava b))

(c) je dobře, to je triviální

(d) úpravou \(3(\frac\pi4+k\frac\pi2)=\frac\pi4+(3k+1)\frac\pi2\) a pokud je \(k\in\mathbb Z\), tak i \((3k+1)\in\mathbb Z\). Takže toto je dobře.

e) evidentně špatně (úprava a))

super mockrát děkuju!