Řešení rovnice - příjimačky MFF 2k15

Dobrý den,

nabízím půl království tomu, kdo by byl ochotný se podělit o postup k řešení této rovnice a nějaký myšlenkový pochod za tím vším.

Ale teď vážně - pokud byste měli jakýkoliv tip, tak bych Vám byl nesmírně vděčný, jelikož já s tím ani nehnu, protože o takové rovnice jsme u nás na gymplu ani nezavadili... Předem děkuju, M.

✓   Téma bylo vyřešeno.

Obtížnost: Střední škola
Kategorie: Rovnice
Martin M.

Martin M.

23. 01. 2021   23:43

2 odpovědi

Zeněk R.
Zeněk R.
24.01.2021 07:21:01
  1. krok - podmínky: \(\cos^2x\ne1\)
  2. krok - užitím vztahu \(n\ln A=\ln A^n\) rovnici upravíme na \(\sqrt{ 1-\sin^2x} =e^{ \ln\sqrt{ 1-\cos^2x} } \)
  3. krok - užitím vztahu \(e^{ \ln A} =A\) přejde rovnice na \(\sqrt{ 1-\sin^2x} =\sqrt{ 1-\cos^2x} \)
  4. krok - obě strany rovnice jsou definované a nezáporné. Můžeme bez obav umocnit.

\(1-\sin^2x=1-\cos^2x\) 5. krok - rovnici upravíme, a to dvěma způsoby (není to nutné, ale zjednoduší to hledání odpovědí)

a) \(\tan^2x=1\ \Rightarrow\ \tan x=\pm1\)

b) \(\cos^2x-\sin^2x=0\ \Rightarrow\ \cos2x=0\)

obě úpravy dávají řešení \(x=\frac\pi4+k\frac\pi2;\ k\in\mathbb Z\)

Tvrzení

(a) je evidentně špatně

(b) je dobře, to plyne přímo z toho, že funkce kosinus je sudá (úprava b))

(c) je dobře, to je triviální

(d) úpravou \(3(\frac\pi4+k\frac\pi2)=\frac\pi4+(3k+1)\frac\pi2\) a pokud je \(k\in\mathbb Z\), tak i \((3k+1)\in\mathbb Z\). Takže toto je dobře.

e) evidentně špatně (úprava a))

Souhlasí: 1    
Martin M.
Martin M.
24.01.2021 09:19:26

super mockrát děkuju!

Pro napsání komentáře se musíte přihlásit.