Najděte všechna řeseni rovnice \( (z-1)^{6}+(z-1)^{3}+1=0\) v komplexním oboru. Substituce a převod na kvadratickou je jasná, ale jak spocítat tretí odmocninu komplexního čísla ?

Určitě to půjde vyřešit nějak pěkně geometricky místo hrubé síly algebry.

Umíme goniometrický i exponenciální tvar, moivrovu větu atd.

Díky za pomoc


Obtížnost: Střední škola
Michal D.

Michal D.

19. 11. 2020   18:50

4 odpovědi

Zeněk R.
Zeněk R.
19.11.2020 19:39:34

Zdravím,

geometrické řešení nevidím, ale pokud umíš exponenciální tvar, tak je to jednoduché

\((z-1)^3=\mathrm{e}^{(\pm\frac{2\pi}3+2k\pi)i}\)

\(z-1=\mathrm{e}^{\frac{2\pi}3(\pm\frac13+k)i},\ k=0;1;2\)

\(z=1+\mathrm{e}^{\frac{2\pi}3(\pm\frac13+k)i},\ k=0;1;2\)

Miroslav Š.
Miroslav Š.
19.11.2020 19:59:06

Použijeme vzorec pro \( n\)-tou odmocninu komplexního čísla v goniometrickém tvaru. Vzorec by mohl být v učebnici za Moivreovou větou.

N-tá odmocnina má v oboru komplexních čísel právě \( n \) řešení.

Absolutní hodnota odmocniny je rovna \( n\)-té odmocnině absolutní hodnoty daného čísla.

V rovině komplexních čísel lze všechna řešení (odmocniny) zobrazit na kružnici se středem v počátku (tvoří vrcholy pravidelného \( n\)-úhelníku). Jejich argumenty jsou \(\frac{\alpha}{n}+\frac{2k\pi}{n} \). Číslo \( k=0, 1, ... n-1 \). Úhel \( \alpha \) je argument komplexního čísla, jehož odmocninu počítáme.

Zeněk R.
Zeněk R.
19.11.2020 20:20:04

Jenom tady bude střed posunutý o 1 ve směru reálné osy

Miroslav Š.
Miroslav Š.
20.11.2020 14:54:05

Částečně geometricky by to šlo takto:

Substitucí \( a=z-1 \) a dále \( x=a^3 \) získáme kvadratickou rovnici pro \( x \). Její řešení (obě) přepíšeme do goniometrického tvaru. Vychází mi čísla s absolutní hodnotou 1, tedy ve tvaru \( x= cos(\alpha)+i*\sin(\alpha) \).

Tedy, \( a^3= cos(\alpha)+i*\sin(\alpha) \). Číslo \( a \) dostaneme jako třetí odmocninu z \( cos(\alpha)+i*\sin(\alpha) \). Vyjdou nám pro každé \( x \) tři řešení (celkem tedy 6).

Jedno z nich je \( a= cos(\alpha/3)+i*\sin(\alpha/3) \), další získáme otočením o \( 2k\pi/3 \), kde \( k=1, 2 \), tj. o 120 a 240 stupňů.

Tak získáme 6 řešení pro \( a \) , která můžeme zakreslit do roviny komplexních čísel.

Řešení pro \( z \) dostaneme jako \( z=a+1 \). Geometricky posuneme body \( a \) o 1 ve směru osy \( x \).

Pro napsání komentáře se musíte přihlásit.