Rovnice

Zdravím,

geometrické řešení nevidím, ale pokud umíš exponenciální tvar, tak je to jednoduché

$(z-1)^3=\mathrm{ e} ^{ (\pm\frac{ 2\pi} 3+2k\pi)i}$

$z-1=\mathrm{ e} ^{ \frac{ 2\pi} 3(\pm\frac13+k)i} ,\ k=0;1;2$

$z=1+\mathrm{ e} ^{ \frac{ 2\pi} 3(\pm\frac13+k)i} ,\ k=0;1;2$

Použijeme vzorec pro $n$-tou odmocninu komplexního čísla v goniometrickém tvaru. Vzorec by mohl být v učebnici za Moivreovou větou.

N-tá odmocnina má v oboru komplexních čísel právě $n$ řešení.

Absolutní hodnota odmocniny je rovna $n$-té odmocnině absolutní hodnoty daného čísla.

V rovině komplexních čísel lze všechna řešení (odmocniny) zobrazit na kružnici se středem v počátku (tvoří vrcholy pravidelného $n$-úhelníku). Jejich argumenty jsou $\frac{ \alpha} { n} +\frac{ 2k\pi} { n}$. Číslo $k=0, 1, ... n-1$. Úhel $\alpha$ je argument komplexního čísla, jehož odmocninu počítáme.

Jenom tady bude střed posunutý o 1 ve směru reálné osy

Částečně geometricky by to šlo takto:

Substitucí $a=z-1$ a dále $x=a^3$ získáme kvadratickou rovnici pro $x$. Její řešení (obě) přepíšeme do goniometrického tvaru. Vychází mi čísla s absolutní hodnotou 1, tedy ve tvaru $x= cos(\alpha)+i*\sin(\alpha)$.

Tedy, $a^3= cos(\alpha)+i*\sin(\alpha)$. Číslo $a$ dostaneme jako třetí odmocninu z $cos(\alpha)+i*\sin(\alpha)$. Vyjdou nám pro každé $x$ tři řešení (celkem tedy 6).

Jedno z nich je $a= cos(\alpha/3)+i*\sin(\alpha/3)$, další získáme otočením o $2k\pi/3$, kde $k=1, 2$, tj. o 120 a 240 stupňů.

Tak získáme 6 řešení pro $a$ , která můžeme zakreslit do roviny komplexních čísel.

Řešení pro $z$ dostaneme jako $z=a+1$. Geometricky posuneme body $a$ o 1 ve směru osy $x$.