Úloha na kombinatoriku
Dobrý den, potřeboval bych pomoct s následující úlohou:
V klobouku jsou kuličky o čtyřech různých barvách – červená,
zelená, modrá a žlutá. Od každé barvy jsou v klobouku právě 3 kuličky. Taháme-li z klobouku čtyřikrát, kolik existuje pořadí
barev vytažených kuliček, kde se alespoň jednou vyskytne
červená?
Předem moc děkuji za odpověď!
Jan J.
01. 03. 2024 21:50
3 odpovědi
Zdravím.
Situaci si rozdělíme na 3 varianty.
a) právě jedna červená: Vyberu pozici pro červenou - 4 možnosti, na zbývající 3 pozice mám pak vždy 3 možnosti, tj. \(3^3\) možností. Celkem \(4\cdot3^3\) možností.
b) právě dvě červené: Vyberu pozici pro červené - \({ 4\choose2} \) možnosti, na zbývající 2 pozice mám pak vždy 3 možnosti, tj. \(3^2\) možností. Celkem \({ 4\choose2} \cdot3^2\) možností.
c) právě 3 červené. Vyberu pozici, kde NENÍ červená - 4 možnosti. Na této pozici pak mám 3 možnosti, tj celkem \(4\cdot3\) možností.
Podle principu kombinatorického součtu je počet všech možností \(4\cdot3^3+{ 4\choose2} \cdot3^2+4\cdot3\)
Než počítat zvlášť případy, kde se červená vyskytuje 1x 2x 3x, je snazší od počtu všech možných případů [PVP] odečíst ty bez červené [PBČ].
[PVP] Každý tah zahrnuje 4 možnosti (máme 4 barvy). Čtyři tahy zahrnují 444*4 případů, ale musíme odečíst 4 případy kdy všechny 4 kuličky mají stejnou barvu (od každé barvy máme jen 3 kuličky)
pvp = 444*4 - 4 = 256 - 4 = 252
[PBČ]
Postup je totožný, jen místo 4 barev uvažujeme jen o třech.
pbč = 333*3 - 3 = 81 - 3 =78
[POČ - případy obsahující červenou barvu]
poč = pvp - pbč = 252 - 78 = 174
Combinatorics is a branch of mathematics concerned with counting, arranging, and analyzing combinations and permutations of objects. It deals with problems related to selecting, arranging, and thin carrots organizing elements in sets or sequences, with applications in various fields such as computer science, statistics, and cryptography.