Určete všechny čtveřice různých dvojmístných přirozených čísel, pro které zároveň platí:

Šel bych na to následující úvahou:

1. složím 80 ze dvou, zbylé dvojku nebosahují ... $80 = 28 + 52$

To ale znamená, že na 90 se složí jiná dvě - $90 = 37 + 53$

To ale nesplní podmínku 3, takže takto to nepůjde.

2. složím 80 ze tří

Celou desítku dostanu jako

$0+1+9, 1+1+8, 1+2+7, 1+3+6, 1+4+5, 2+2+6, 2+3+5, 2+4+4, 3+3+4$

Teď vylučme všechny, které nemají v součtu alespoň jednu dvojku, dostaneme totiž jinak vždy 70.

$1+2+7, 2+2+6, 2+3+5, 2+4+4$, zbylé číslo může končit čímkoliv krom 2

Pro složení 90 potřebujeme alespoň jedno číslo končící 3, jinak dostaneme součet 100

Pro složení 60 potřebujeme dvě čísla končící 5 a žádné začínající 5.

Zbývá nám tedy kombinace $2+3+5+5$. Teď jen dopočítat desítky.

$10a+2 + 10b+3 + 10c+5 = 80$

$10a+2 +10b+3 + 10d+5 = 90$

$10c+5+10d+5 = 60$

Stačí z pomínek na to, aby se započítávala:

$c = 2, d = 3$

$a=3, b = 2$

32,23,25,35 Ověření OK, žádná další kombinace touto cestou.

3. složím 80 ze čtyř analogicky

Pro případ, kdy složím 10, 20, příp 30 z posledních cifer všech čtyř čísel, je sice možností hodně, ale postupnými úvahami o pravidlech pro dvojku a trojku samostatně zbydou dvě. Ty se pak také vyloučí, protože jsou cifry na pozici desítek jednoznačně determinovány a navzájem se požadavky vyloučí.

Ještě by připadalo v úvahu ze tří posledních cifer poskládat 20 místo 10 - kombinace:

$9+9+2, 9+8+3, 9+7+4, 9+6+5$,

ale ty taky vedou do sporu hned po aplikaci prvních dvou pravidel.