Určete všechny čtveřice různých dvojmístných přirozených čísel, pro které zároveň platí:
Určete všechny čtveřice různých dvojmístných přirozených čísel, pro které zároveň platí:
(i) Součet těch čísel z dané čtveřice, která obsahují číslici 2, je 80.
(ii) Součet těch čísel z dané čtveřice, která obsahují číslici 3, je 90.
(iii) Součet těch čísel z dané čtveřice, která obsahují číslici 5, je 60.
Jan K.
13. 12. 2021 15:53
3 odpovědi
Šel bych na to následující úvahou:
- složím 80 ze dvou, zbylé dvojku nebosahují ... \(80 = 28 + 52\)
To ale znamená, že na 90 se složí jiná dvě - \(90 = 37 + 53\)
To ale nesplní podmínku 3, takže takto to nepůjde.
- složím 80 ze tří
Celou desítku dostanu jako
\( 0+1+9, 1+1+8, 1+2+7, 1+3+6, 1+4+5, 2+2+6, 2+3+5, 2+4+4, 3+3+4\)
Teď vylučme všechny, které nemají v součtu alespoň jednu dvojku, dostaneme totiž jinak vždy 70.
\(1+2+7, 2+2+6, 2+3+5, 2+4+4\), zbylé číslo může končit čímkoliv krom 2
Pro složení 90 potřebujeme alespoň jedno číslo končící 3, jinak dostaneme součet 100
Pro složení 60 potřebujeme dvě čísla končící 5 a žádné začínající 5.
Zbývá nám tedy kombinace \(2+3+5+5\). Teď jen dopočítat desítky.
\(10a+2 + 10b+3 + 10c+5 = 80\)
\(10a+2 +10b+3 + 10d+5 = 90\)
\(10c+5+10d+5 = 60\)
Stačí z pomínek na to, aby se započítávala:
\(c = 2, d = 3\)
\(a=3, b = 2\)
32,23,25,35 Ověření OK, žádná další kombinace touto cestou.
- složím 80 ze čtyř analogicky
Pro případ, kdy složím 10, 20, příp 30 z posledních cifer všech čtyř čísel, je sice možností hodně, ale postupnými úvahami o pravidlech pro dvojku a trojku samostatně zbydou dvě. Ty se pak také vyloučí, protože jsou cifry na pozici desítek jednoznačně determinovány a navzájem se požadavky vyloučí.
Ještě by připadalo v úvahu ze tří posledních cifer poskládat 20 místo 10 - kombinace:
\(9+9+2, 9+8+3, 9+7+4, 9+6+5\),
ale ty taky vedou do sporu hned po aplikaci prvních dvou pravidel.