Vypočtěte limity následujících výrazů pro n → ∞

Ahoj Kataríno,

v prvním příkladu zadaný výraz rozšířím \(\sqrt{ n^3+4n} +\sqrt{ n^3-4n} \), dostanu

\( \sqrt{ n} \left(\sqrt{ n^3+4n} -\sqrt{ n^3-4n} \right)= \)

\( =\displaystyle\frac{ \sqrt{ n} \left(\sqrt{ n^3+4n} -\sqrt{ n^3-4n} \right)\left(\sqrt{ n^3+4n} +\sqrt{ n^3-4n} \right)} { \sqrt{ n^3+4n} +\sqrt{ n^3-4n} } \)

zjednoduším čitatele

\( \displaystyle\frac{ 8n\sqrt{ n} } { \sqrt{ n^3+4n} +\sqrt{ n^3-4n} } \)

čitatele i jmenovatele dělím \( n \)

\( \displaystyle=\frac{ 8\sqrt{ n} } { \frac{ 1} { n} \left(\sqrt{ n^3+4n} +\sqrt{ n^3-4n} \right)} =\frac{ 8\sqrt{ n} } { \sqrt{ \frac{ n^3+4n} { n^2} } +\sqrt{ \frac{ n^3+4n} { n^2} } } =\frac{ 8\sqrt{ n} } { \sqrt{ n+\frac{ 4} { n} } +\sqrt{ n+\frac{ 4} { n} } } \)

platí \( \displaystyle\lim_{ n\rightarrow\infty} \frac{ 4} { n} =0 \), proto

\( \displaystyle\lim_{ n\rightarrow\infty} \frac{ 8\sqrt{ n} } { \sqrt{ n+\frac{ 4} { n} } +\sqrt{ n+\frac{ 4} { n} } } =\frac{ 8\sqrt{ n} } { \sqrt{ n} +\sqrt{ n} } =\frac{ 8\sqrt{ n} } { 2\sqrt{ n} } =\frac{ 8} { 2} =4 \)

Zdravím,

na ukázku 1. příklad.

\(\sqrt n(\sqrt{ n^3+4n} -\sqrt{ n^3-4n} )\cdot\dfrac{ \sqrt{ n^3+4n} +\sqrt{ n^3-4n} } { \sqrt{ n^3+4n} +\sqrt{ n^3-4n} } \) - rozšíření, v čitateli vzniká ten vzorec

\(\dfrac{ \sqrt n(n^3+4n-n^3+4n)} { \sqrt{ n^3+4n} +\sqrt{ n^3-4n} } =\dfrac{ 8n\sqrt n} { \sqrt{ n^3+4n} +\sqrt{ n^3-4n} } \) - nyní ve jmenovateli vytkneš

\(n^3\) před odmocniny a zkrátíš

\(\dfrac{ 8n^{ \frac32} } { n^{ \frac32} \left(\sqrt{ 1+\frac4{ n^2} } +\sqrt{ 1-\frac4{ n^2} } \right)} =\dfrac{ 8} { \sqrt{ 1+\frac4{ n^2} } +\sqrt{ 1-\frac4{ n^2} } } \)

a nyní spočítáš \(\displaystyle\lim_{ n\rightarrow\infty} \dfrac{ 8} { \sqrt{ 1+\frac4{ n^2} } +\sqrt{ 1-\frac4{ n^2} } } =4\)

Díki moc ostatné príklady mi už vyšli :) Dík ješte jednou