Zobrazenie skladanej funkcie

Takhle na první pohlde mi první část zadání $f \circ g = Id(N)$ nápadně připomíná definici inverzní funkce. Takže mám takové podezření, že by se ten důkaz mohl o tu definici opřít.

Pokud definice $f:N\rightarrow{ N}$ znamená, že $dom f$ a $range f$ jsou všechna přirozená čísla, tak stačí vyjít ze vztahu identity, \( f \circ idN = idN \circ f = (f \circ g) \circ f

= f \circ (g \circ f) \), první a poslední vztah říká to, co potřebuješ.

Jestli $f$ nemusí pokrývat celá přirozená čísla, tak třeba $g(n) = n+1$ je prostá a má inverzi, se kterou bude tvořit identitu, zatímco opačná kompozice už identitou nebude.

errata: $f \circ idN = idN \circ f = (f \circ g) \circ f = f \circ (g \circ f)$

Tomáši, prosím o rozvedení... Inverze k n+1 je dle mého n-1. Chápu správně, že opačné složení není identitou, protože se 1 zobrazí funkcí g mimo N - na nulu - a následně tedy pro něj není zobrazení definováno?

Ahoj Honzo, je to tak. Když pracujeme s nekonečnými množinami, můžeme vytvořit funkci $f: N \rightarrow N$ , která je injektivní a není surjektivní. A když značení není jasné (různí autoři volí různé), těžko říct, na co přesně se zadání ptá.

Hezký příklad, který souvisí s tím, co jsem psal předtím, je vektorový prostor $P$ všech polynomů nad $R$ a operátory $Dp = p'$ a $Ep = \int p$ tvořící identitu $(D \circ E)p = Ip$. $ker D$ je netriviálním podprostorem $P$, takže opačný vztah neplatí.

$(E \circ D)(x^2+x+1) = E(D(x^2+x+1)) = E(2x+1) = x^2+x$