Zobrazenie skladanej funkcie
Ahojte, na škole sme sa začali učiť strašne rýchlo a veľmi veľa veci si musím dobiehať, ktoré sme sa na SŠ neučili. Viete mi niekto poradiť ako by som to mal riešiť? Skúsil som skladanie f•g•f•g, roznych kombinácii a nikam to nevedie. Chýba mi učivo o dôkazoch.
Zadanie je turu:
Vo všetkých úlohách N označuje množinu prirodzených čísel, t.j. N = { 0, 1, 2, . . . } . Označenie idN znamená identické zobrazenie na množine N, t.j. zobrazenie idN : N → N určené predpisom idN(n) = n (pre každé n ∈ N).
Nájdite príklad zobrazení f, g : N → N takých, že f ◦ g = idN a súčasne g ◦ f != idN, (alebo zdôvodnite, že také zobrazenia neexistujú).
Lukas B.
03. 10. 2021 15:41
5 odpovědí
Takhle na první pohlde mi první část zadání \(f \circ g = Id(N)\) nápadně připomíná definici inverzní funkce. Takže mám takové podezření, že by se ten důkaz mohl o tu definici opřít.
Pokud definice \( f:N\rightarrow{ N} \) znamená, že \( dom f \) a \( range f \) jsou všechna přirozená čísla, tak stačí vyjít ze vztahu identity, \( f \circ idN = idN \circ f = (f \circ g) \circ f
= f \circ (g \circ f) \), první a poslední vztah říká to, co potřebuješ.
Jestli \( f \) nemusí pokrývat celá přirozená čísla, tak třeba \( g(n) = n+1 \) je prostá a má inverzi, se kterou bude tvořit identitu, zatímco opačná kompozice už identitou nebude.
errata: \( f \circ idN = idN \circ f = (f \circ g) \circ f = f \circ (g \circ f) \)
Tomáši, prosím o rozvedení... Inverze k n+1 je dle mého n-1. Chápu správně, že opačné složení není identitou, protože se 1 zobrazí funkcí g mimo N - na nulu - a následně tedy pro něj není zobrazení definováno?
Ahoj Honzo, je to tak. Když pracujeme s nekonečnými množinami, můžeme vytvořit funkci \( f: N \rightarrow N \) , která je injektivní a není surjektivní. A když značení není jasné (různí autoři volí různé), těžko říct, na co přesně se zadání ptá.
Hezký příklad, který souvisí s tím, co jsem psal předtím, je vektorový prostor \( P \) všech polynomů nad \( R \) a operátory \( Dp = p' \) a \( Ep = \int p \) tvořící identitu \( (D \circ E)p = Ip \). \( ker D \) je netriviálním podprostorem \( P \), takže opačný vztah neplatí.
\( (E \circ D)(x^2+x+1) = E(D(x^2+x+1)) = E(2x+1) = x^2+x \)