Chování hromadných operátorů
Přeji pěkný večer,
měl bych otázku ohledně krajních případů chování některých matematických operátorů, které umožňují hromadně konat operace nad všemi prvky nějaké množiny. Jde například o sumu, produkt, konjunkci nad všemi formulemi atd. Zajímalo mě, jak se tyto operátory chovají, pokud mají provést operaci nad všemi prvky prázdné množiny, tedy např.:
\(\sum_{ n \in \emptyset} n = 0\)
\(\prod_{ n \in \emptyset} n = 1\)
\(\bigwedge_{ \varphi \in \emptyset} \varphi \Longleftrightarrow \top\)
\(\bigvee_{ \varphi \in \emptyset} \varphi \Longleftrightarrow \bot\)
\(\bigcup_{ A \in \emptyset} A = \emptyset\)
Tak nějak jsem dospěl k tomu, že v takovém případě je třeba vycházet z neutrálního prvku dané operace. Předpokládám tedy, že výše uvedené ekvivalence jsou pravdivé. Narazil jsem ale na problém u výrazu
\(\bigcap_{ A \in \emptyset} A\).
Co je neutrálním prvkem průniku? Napadla mě vlastní třída teorie množin, to ale není množina, připadá mi tedy absurdní, že by mohla být výsledkem nějaké množinové operace.
Pokud bych pracoval na nějaké konkrétní potenční algebře, hádám, že by se tento výraz rovnal supremu nosiče. Pokud nemá smysl uvažovat o neutrálním prvku mimo nějakou kontrétní algebraickou strukturu, znamená to tedy, že ani výše uvedený výraz nedává bez této informace žádný smysl? Měly výrazy v úvodu dotazu smysl jen proto, že v jejich případě implicitně pracuji na Booleově algebře nebo na tělese reálných čísel?
Děkuji předem za odpovědi!
Tomáš K.
20. 10. 2021 04:58
2 odpovědi
Ahoj Tome,
v okrajových případech je potřeba používat selský rozum :) Obvykle jsou naprosto nezajímavé a zavádíme je jen proto, abychom vychytali výjimky a nemuseli v každém důkazu explicitně vyjmenovávat jednotlivé případy, kdy obecnější tvrzení neplatí.
Hned první operátor snadno vyvrátím, \( \sum_{ n \in \omega} n \) je dobře definovaný pouze pro konečnou množinu \( \omega \), i přesto, že sčítání je komutativní. U nekonečných množin potřebujeme indexované množiny, protože třeba každou neabsolutně konvergující řadu na \( \mathbb{ R} \) můžeš uspořádat do libovolného součtu.
Tady přijde na řadu ten selský rozum, pokud mám konečné množiny \( \alpha, \beta \), můžu chtít využít komutativity a definovat \( \sum_{ n \in \alpha \cup \beta} = \sum_{ n \in \alpha} + \sum_{ n \in \beta} \), takže ano, dává smysl, aby suma nad prázdnou množinou dávala neutrální prvek kvůli výrazu na pravé straně.
Druhý operátor je ještě zajímavější a lze vyjít z toho, co víme, protože \( log \prod_{ n \in \Omega} n = \sum_{ n \in \Omega} log n \), takže potřebujeme být konzistentní v řadě myšlenek, ale v důsledku bude stačit, když budou stále platit axiomy.
A celkem dobře jsi uhádl, co s \( \bigcap_{ n \in \omega} n \), když \( \omega = \emptyset \). Operátor v obecném případě nad prázdnou množinou nedefinujeme, protože třeba pro sjednocení množiny ordinálů bys potřeboval jejich supremum, což by znamenalo, že existuje největší ordinál (spor).
Ale opravdu definujeme \( \bigcap_{ n \in \omega, n \subset E} n = E \). Není nutné, aby \( E \) byla potenční množina, i když v praxi (mimo teorii množin) to většinou bývá \( \sigma \)-algebra, protože právě na ní se typické operace chovají "správně", platí De Morganovy zákony, atd.
Z toho také plyne odpověď na poslední otázku (když odmyslím to, že jsi sumu i produkt nedefinoval uplně správně). Ano, když struktury, na kterých jsou operátory zadefinované, umožňují pokrytí okrajových případů, tak se pro ně většinou zadefinují.
Na závěr dodám, že nic z toho není univerzální pravda. Když budeš číst práce různých autorů, uvidíš, že autor prohlásí, "okrajové případy jsou nezajímavé, definujeme v takovém případě výraz jako nulu (nebo nekonečno), abychom je nemuseli v důkazech řešit."
Přeji pěkný večer, Tomáši,
děkuji moc za odpověď. Narazil jsem právě při zkoumání jednoho algoritmu na situaci, kdy jsem potřeboval nad úplným svazem, kde nosičem byla potenční množina množiny formulí, konstruovat nad každým prvkem nosiče hromadnou konjunkci a nějak jsem si nebyl zpočátku jistý, co dělat s prázdnou množinou, kterou jsem nemohl přehlížet, takže jsem si z toho vyvodil, že tyto okrajové případy určitě mají důležitou roli i u všech ostatních podobných operátorů. Děkuji tedy moc za vyčerpávající odpověď a přeji pěkný zbytek dne.