Extrémy funkce
Zdravím, potřeboval bych pomoct s touto úlohou. Díky za pomoc.
Richard J.
28. 01. 2024 17:28
1 odpověď
f(x)=√|sin(x)|⋅cos(x2)f(x)=√|sin(x)|⋅cos(x2)
funkce je 4π4π periodicka, nabyva kladnych i zapornych hodnot, nulove body v kπkπ
spocitame derivaci na intervalu (0,π)(0,π),
f′(x)=12[cos(x)⋅cos(x2)√sin(x)−√sin(x)⋅sin(x2)]
f′(x)=0
⇒cos(x)cos(x/2)−sin(x)sin(x/2)√sin(x)=0
⇒cos(x)cos(x/2)−sin(x)sin(x/2)=0∧x!=kπ
⇒cos(3x2)=0∧x!=kπ
⇒3x2=π2+kπ∧x!=kπ
⇒x=π3+2k3π∧x!=kπ
Pozor, jen na intervalu 0..π
Je potreba spocitat i pro interval π..2π
Z abs hodnoty dostaneme -, to vyleze nekde v derivacich, ale na nulove body to vliv mit nebude
Vidime, ze reseni jsou:
π3 : max,
5π3 : min,
7π3 : min,
11π3 : max
Plus perioda 4π (z kresleni)
Obor hodnot dostaneme jako interval mezi minimem a maximem:
f(π3)=√√32√32
f(5π3)=−√√32√32
H(f)=[−√√32√32,√√32√32]
Vypocteme druhou derivaci:
f′(x)=cos(3x2)√(sin(x))
f"(x)=−sin(3x2)32√sin(x)−cos(3x2)12√sin(x)sin(x)
Zkusime dosadit x=π2
f"(π2)=−√2232+√22121=−√22
Druha derivace je v tomhle bode zaporna, tedy funkce je konkavni, tedy nemuzeme najit interval s timto bodem, kde by byla konvexni.