Skládání funkcí

Zdravím,

nenapadá mě nic jiného, než si vypsat pár prvních členů a zkusit z nich ten tvar uhodnout.

3.4:

$f_0=x^2$

$f_1=f_0\circ f_0=(x^2)^2=x^4$

$f_2=f_0\circ f_1=(x^2)^4=x^8$

$f_3=f_0\circ f_2=(x)^8=x^{ 16}$

a když se podívám na exponenty, vidím pravidlo:

$n=0\rightarrow 2^1$

$n=1\rightarrow 2^2$

$n=2\rightarrow 2^3$

$n=3\rightarrow 2^4$

takže "uhodnu" $n=n\rightarrow 2^{ n+1}$

Bude tedy $f_n=x^{ 2^{ n+1} }$

Tohle ovšem není důkaz, měl bych ověřit, že ten vztah platí obecně:

$f_n=f_0\circ f_{ n-1} =(x^2)^{ 2^n} =x^{ 2\cdot2^n} =x^{ 2^{ n+1} }$

A je to.