Skládání funkcí

Zdravím,

nenapadá mě nic jiného, než si vypsat pár prvních členů a zkusit z nich ten tvar uhodnout.

3.4:

\(f_0=x^2\)

\(f_1=f_0\circ f_0=(x^2)^2=x^4\)

\(f_2=f_0\circ f_1=(x^2)^4=x^8\)

\(f_3=f_0\circ f_2=(x)^8=x^{ 16} \)

a když se podívám na exponenty, vidím pravidlo:

\(n=0\rightarrow 2^1\)

\(n=1\rightarrow 2^2\)

\(n=2\rightarrow 2^3\)

\(n=3\rightarrow 2^4\)

takže "uhodnu" \(n=n\rightarrow 2^{ n+1} \)

Bude tedy \(f_n=x^{ 2^{ n+1} } \)

Tohle ovšem není důkaz, měl bych ověřit, že ten vztah platí obecně:

\(f_n=f_0\circ f_{ n-1} =(x^2)^{ 2^n} =x^{ 2\cdot2^n} =x^{ 2^{ n+1} } \)

A je to.