Integral log o základu a z x

Přeji pěkný večer, Pavle,

budu předpokládat, že \(a \in (0; 1) \cup (1; \infty)\). Pak můžeme psát

\(\int \log_a{ x} \ dx = \int \frac{ \ln{ x} } { \ln{ a} } \ dx = \frac{ 1} { \ln{ a} } \int \ln{ x} \ dx\),

neboť \(\ln{ a} \) je konstanta. Řešme nyní \(\int \ln{ x} \ dx\). Je dobré si uvědomit, že \(\int \ln{ x} \ dx = \int 1 \cdot \ln{ x} \ dx\). Díky tomu můžeme využít metodu per partes.

Zopakujme, že \(\int u' \cdot v\ dx = u \cdot v - \int u \cdot v'\ dx\), kde \(u, v\) jsou funkce proměnné \(x\).

Zaveďme \(u' = 1, v = \ln{ x} \). Pak platí:

\(\int 1 \cdot \ln{ x} \ dx = x \cdot \ln{ x} - x + C_1\), kde \(C_1 \in \mathbb{ R} \).

Z toho plyne, že \(\int \log_a{ x} \ dx = \frac{ x \cdot \ln{ x} - x + C_1} { \ln{ a} } = \frac{ x \cdot \ln{ x} - x} { \ln{ a} } + C_2\), kde \(C_2 \in \mathbb{ R} \).

super, děkuji moc! 8¨-)