Integral log o základu a z x

Přeji pěkný večer, Pavle,

budu předpokládat, že $a \in (0; 1) \cup (1; \infty)$. Pak můžeme psát

$\int \log_a{ x} \ dx = \int \frac{ \ln{ x} } { \ln{ a} } \ dx = \frac{ 1} { \ln{ a} } \int \ln{ x} \ dx$,

neboť $\ln{ a}$ je konstanta. Řešme nyní $\int \ln{ x} \ dx$. Je dobré si uvědomit, že $\int \ln{ x} \ dx = \int 1 \cdot \ln{ x} \ dx$. Díky tomu můžeme využít metodu per partes.

Zopakujme, že $\int u' \cdot v\ dx = u \cdot v - \int u \cdot v'\ dx$, kde $u, v$ jsou funkce proměnné $x$.

Zaveďme $u' = 1, v = \ln{ x}$. Pak platí:

$\int 1 \cdot \ln{ x} \ dx = x \cdot \ln{ x} - x + C_1$, kde $C_1 \in \mathbb{ R}$.

Z toho plyne, že $\int \log_a{ x} \ dx = \frac{ x \cdot \ln{ x} - x + C_1} { \ln{ a} } = \frac{ x \cdot \ln{ x} - x} { \ln{ a} } + C_2$, kde $C_2 \in \mathbb{ R}$.

super, děkuji moc! 8¨-)