Výpočet obsahu rovinného obrazce ohraničeného křivkami
Zdravím Vás, řeším výpočet plochy pomocí určitého integrálu. V zadání jsem se poprvé setkal u takového typu příkladu s goniometrickými funkcemi a nikde nemohu najít alespoň trochu podobný řešený příklad, který by mě nakopl... může někdo pomoci s nakopnutím? ;)
Gavin T.
08. 01. 2023 19:23
4 odpovědi
Ten obrazec je periodický a nenulový, tudíž by plocha byla nekonečná. Budeme tedy dále předpokládat, že se bavíme o jednom jeho úseku, a to x∈[−π2,π2]
Počítáme tedy
∫π2−π2cosx−12cos3xdx
Nyní budu upravovat výraz uvnitř integrálu:
cosx−12cos3x=12cosx⋅(2−cos2x)=12cosx(1+sin2x)
Nyní provedeme substituci: y=sinx, dy=cosxdx, hranice integrálu budou [−1,1]
Celkově tedy
S=∫1−112(1+y2)dy
S tím už si, předpokládám, poradíš.
Kdyby bylo něco v předchozím postupu nejasné, ptej se.
Děkuji moc, velmi mi to pomohlo a potvrdilo mi to můj postup, ke kterému jsem v průběhu noci došel :-) Jen bych se chtěl zeptat, nemělo by tam být v té závorce:
1−sin2(x) a nikoliv 1+sin2(x)?
Každopádně moc děkuji ! :)
Platí rovnice sin2x+cos2x=1.
Máme tam 2−cos2x=1+(1−cos2x)=1+sin2x
Jestli jsem dobře vytknul tu polovinu, tak je to v pořádku.
Tak spíše bývá zvykem toto zadávat v 1.kvadrantu, takže asi tam chybí a dále vymezeno přímkami y=0, x=0, což je osa x a y. Pak by to vyšlo pochopitelně poloviční, čili v intervalu <0,pi/2>