Výpočet obsahu rovinného obrazce ohraničeného křivkami

Ten obrazec je periodický a nenulový, tudíž by plocha byla nekonečná. Budeme tedy dále předpokládat, že se bavíme o jednom jeho úseku, a to \(x \in \left[ -\frac{ \pi} { 2} ,\frac{ \pi} { 2} \right]\)

Počítáme tedy

\(\int_{ \frac{ -\pi} { 2} } ^{ \frac{ \pi} { 2} } \cos x - \frac{ 1} { 2} \cos^3 x dx\)

Nyní budu upravovat výraz uvnitř integrálu:

\( \cos x - \frac{ 1} { 2} \cos^3 x = \frac{ 1} { 2} \cos x \cdot\left(2 - \cos^2 x\right) = \frac{ 1} { 2} \cos x \left( 1 + \sin^2 x\right)\)

Nyní provedeme substituci: \(y = \sin x\), \(dy = \cos x dx\), hranice integrálu budou \([-1,1]\)

Celkově tedy

\(S = \int_{ -1} ^{ 1} \frac{ 1} { 2} (1+y^2) dy\)

S tím už si, předpokládám, poradíš.

Kdyby bylo něco v předchozím postupu nejasné, ptej se.

Děkuji moc, velmi mi to pomohlo a potvrdilo mi to můj postup, ke kterému jsem v průběhu noci došel :-) Jen bych se chtěl zeptat, nemělo by tam být v té závorce:

\(1-sin^2(x) \) a nikoliv \(1+sin^2(x) \)?

Každopádně moc děkuji ! :)

Platí rovnice \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\).

Máme tam \(2 - \cos^2 x = 1 + (1 - \cos^2 x) = 1 + \sin^2 x\)

Jestli jsem dobře vytknul tu polovinu, tak je to v pořádku.

Tak spíše bývá zvykem toto zadávat v 1.kvadrantu, takže asi tam chybí a dále vymezeno přímkami y=0, x=0, což je osa x a y. Pak by to vyšlo pochopitelně poloviční, čili v intervalu <0,pi/2>