Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js

Výpočet obsahu rovinného obrazce ohraničeného křivkami

Zdravím Vás, řeším výpočet plochy pomocí určitého integrálu. V zadání jsem se poprvé setkal u takového typu příkladu s goniometrickými funkcemi a nikde nemohu najít alespoň trochu podobný řešený příklad, který by mě nakopl... může někdo pomoci s nakopnutím? ;)

Příloha k dotazu
✓   Téma bylo vyřešeno.

Obtížnost: Vysoká škola
Kategorie: Integrály
Gavin T.

Gavin T.

08. 01. 2023   19:23

4 odpovědi

Jan Z.
Jan Z.
09.01.2023 10:12:16

Ten obrazec je periodický a nenulový, tudíž by plocha byla nekonečná. Budeme tedy dále předpokládat, že se bavíme o jednom jeho úseku, a to x[π2,π2]

Počítáme tedy

π2π2cosx12cos3xdx

Nyní budu upravovat výraz uvnitř integrálu:

cosx12cos3x=12cosx(2cos2x)=12cosx(1+sin2x)

Nyní provedeme substituci: y=sinx, dy=cosxdx, hranice integrálu budou [1,1]

Celkově tedy

S=1112(1+y2)dy

S tím už si, předpokládám, poradíš.

Kdyby bylo něco v předchozím postupu nejasné, ptej se.

Gavin T.
Gavin T.
09.01.2023 10:37:48

Děkuji moc, velmi mi to pomohlo a potvrdilo mi to můj postup, ke kterému jsem v průběhu noci došel :-) Jen bych se chtěl zeptat, nemělo by tam být v té závorce:

1sin2(x) a nikoliv 1+sin2(x)?

Každopádně moc děkuji ! :)

Jan Z.
Jan Z.
09.01.2023 10:41:52

Platí rovnice sin2x+cos2x=1.

Máme tam 2cos2x=1+(1cos2x)=1+sin2x

Jestli jsem dobře vytknul tu polovinu, tak je to v pořádku.

MILAN K.
MILAN K.
15.01.2023 22:31:33

Tak spíše bývá zvykem toto zadávat v 1.kvadrantu, takže asi tam chybí a dále vymezeno přímkami y=0, x=0, což je osa x a y. Pak by to vyšlo pochopitelně poloviční, čili v intervalu <0,pi/2>

Pro napsání komentáře se musíte přihlásit.